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XXV.

Des formules de l’article précédent, qui se rapportent au triangle rectangle formé par des lignes de plus courte distance, passons à quelque chose de plus général. Soit sur la même ligne de plus courte distance $\mathrm {BD}$, un autre point $\mathrm {C}$ pour lequel $p$ ne change pas, et les lettres $q',\ x',$ $\varphi ',\ \psi ',S'$ désignent pour le point $\mathrm {C}$ les mêmes choses que $q,\ r,\ \varphi ,\ \psi ,\ S$ pour le point $\mathrm {B} .$ On forme ainsi, entre les points $\mathrm {A,\ B,\ C} ,$ un triangle dont nous désignons les angles par $\mathrm {A,\ B,\ C} ,$ les côtés opposés par $a,\ b,\ c,$ l’aire par $\sigma ;$ nous exprimerons la mesure de la courbure aux points $\mathrm {A,\ B,\ C}$ respectivement par $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma .$ Supposant donc (ce qui est permis) que les quantités $p,\ q,\ q-q'$ sont positives, nous avons

${\begin{alignedat}{4}\mathrm {A} \ &=\varphi -\varphi ',&\quad \mathrm {B} \ &=&\psi ,&\quad \mathrm {C} \ &=&\pi -\psi ',&\\a\ &=q-q',&b\ &=&r',&\quad c\ &=&r,&\quad \sigma &\ =\ &\mathrm {S-S'} .\end{alignedat}}$

Avant tout, exprimons l’aire $\sigma$ en série. En changeant dans la série [7] chacune des quantités relatives à $\mathrm {B}$ dans celles qui se rapportent à $\mathrm {C} ,$ il vient cette série pour $\mathrm {S'} ,$ développée jusqu’aux quantités du sixième ordre,

$\sigma ={\frac {1}{2}}(q-q')\left\{{\begin{alignedat}{3}1&-{\frac {1}{6}}f^{0}(p^{2}+q^{2}+qq'+q'^{2})\\&-{\frac {1}{60}}f'p(6p^{2}+7q^{2}+7qq'+7q'q')\\&-{\frac {1}{20}}g^{0}(q+q')(3p^{2}+4q^{2}+4qq'+4q'^{2})\end{alignedat}}\right\}.$

Cette formule, à l’aide de la série [2], savoir,

$c\sin \mathrm {B} =p\left(1-{\frac {1}{3}}f^{0}q^{2}-{\frac {1}{4}}f'pq^{2}-{\frac {1}{2}}g^{0}q^{3}-\dots \right),$

se change dans la suivante :