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dont la combinaison donne

${\begin{alignedat}{5}{\frac {r\sin \psi }{n}}.{\frac {d.r\cos \varphi }{dp}}&\ +\ r\cos \psi .{\frac {d.r\cos \varphi }{dq}}&\ =\ r\cos \varphi ,\\{\frac {r\sin \psi }{n}}.{\frac {d.r\sin \varphi }{dp}}&\ +\ r\cos \psi .{\frac {d.r\sin \varphi }{dq}}&\ =\ r\sin \varphi ,\end{alignedat}}$

On tire de là facilement, pour calculer $r\cos \varphi ,\ r\sin \varphi ,$ des séries dont les premiers termes doivent être évidemment $p$ et $q$, savoir :

[4]

$\left\{{\begin{alignedat}{3}r\cos \varphi =p+{\frac {2}{3}}f^{0}pq^{2}&+{\frac {5}{12}}f'p^{2}q^{2}&&+\left({\frac {3}{10}}f''-{\frac {8}{45}}f^{0}f^{0}\right)p^{3}q^{2}+\dots \\&+{\frac {1}{2}}g^{0}pq^{3}&&+{\frac {7}{20}}g'p^{3}q^{2}\\&&&+\left({\frac {2}{5}}h^{0}-{\frac {7}{45}}f^{0}f^{0}\right)pq^{4},\end{alignedat}}\right.$

[5]

$\left\{{\begin{alignedat}{3}r\sin \varphi =q-{\frac {1}{3}}f^{0}p^{2}q&-{\frac {1}{6}}f'p^{3}q&&-\left({\frac {1}{10}}f''-{\frac {7}{90}}f^{0}f^{0}\right)p^{4}q+\dots \\&-{\frac {1}{2}}g^{0}pq^{3}&&-{\frac {2}{5}}g'p^{2}q^{3}\\&&&-\left({\frac {1}{5}}h^{0}+{\frac {14}{90}}f^{0}f^{0}\right)p^{2}q^{3}.\end{alignedat}}\right.$

En combinant les équations [2], [3], [4], [5], on peut obtenir une série pour calculer $r^{2}\cos \left(\psi +\varphi \right)\ ;$ divisant cette série par la série [1] qui donne $r^{2},$ on aura $\cos \left(\psi +\varphi \right),$ et, par conséquent, aussi $\psi +\varphi$ développé en série. On peut cependant obtenir cette même série plus élégamment de la manière suivante. En différentiant la première et la seconde des équations qui sont rapportées au commencement de cet article, nous obtenons

$\sin \psi .{\frac {dn}{dq}}\ +\ n\cos \psi .{\frac {d\psi }{dq}}\ +\ \sin \psi .{\frac {d\psi }{dp}}\ =\ 0\ ;$

combinant cette équation avec celle-ci,

$n\cos \psi .{\frac {d\varphi }{dq}}\ +\ \sin \psi .{\frac {d\varphi }{dp}}\ =\ 0\ ;$