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Nous avons ensuite, au moyen de la formule $r\sin \psi ={\frac {1}{2n}}.{\frac {d.r^{2}}{dp}},$

[2]

$\left\{{\begin{alignedat}{3}r\sin \psi =p-{\frac {1}{3}}f^{0}pq^{2}&-{\frac {1}{4}}f'p^{2}q^{2}&&-\left({\frac {1}{5}}f''+{\frac {8}{45}}f^{0}f^{0}\right)p^{3}q^{2}+\dots \\&-{\frac {1}{2}}g^{0}pq^{3}&&-{\frac {2}{5}}g'p^{2}q^{3}\\&&&-\left({\frac {3}{5}}h^{0}-{\frac {8}{45}}f^{0}f^{0}\right)pq^{4},\end{alignedat}}\right.$

et, par la formule $r\cos \psi ={\frac {1}{2}}.{\frac {d.r^{2}}{dq}},$

[3]

$\left\{{\begin{alignedat}{3}r\cos \psi =q+{\frac {2}{3}}f^{0}p^{2}q&+{\frac {1}{2}}f'p^{3}q&&+\left({\frac {2}{5}}f''-{\frac {4}{45}}f^{0}f^{0}\right)p^{4}q+\dots \\&+{\frac {3}{4}}g^{0}p^{2}q^{2}&&+{\frac {3}{5}}g'p^{3}q^{2}\\&&&+\left({\frac {4}{5}}h^{0}-{\frac {14}{45}}f^{0}f^{0}\right)p^{2}q^{3}.\end{alignedat}}\right.$

L’une et l’autre formule font connaître l’angle $\psi .$ Ensuite, quant au calcul de l’angle $\varphi ,$ les séries pour $r\cos \varphi ,\ r\sin \varphi$ se développent très-élégamment au moyen des équations aux différentielles partielles,

${\begin{alignedat}{5}{\frac {d.r\cos \varphi }{dp}}&\ =\ &n\ \cos \varphi .\sin \psi &\ -\ r\sin \varphi .{\frac {d\varphi }{dp}},\\{\frac {d.r\cos \varphi }{dq}}&\ =\ &\ \ \cos \varphi .\cos \psi &\ -\ r\sin \varphi .{\frac {d\varphi }{dq}},\\{\frac {d.r\sin \varphi }{dp}}&\ =\ &\ n\ \sin \varphi .\sin \psi &\ +\ r\cos \varphi .{\frac {d\varphi }{dp}},\\{\frac {d.r\sin \varphi }{dp}}&\ =\ &\ \ \sin \varphi .\cos \psi &\ +\ r\cos \varphi .{\frac {d\varphi }{dq}},\end{alignedat}}$

$n\ \cos \psi .{\frac {d\varphi }{dq}}\ +\ \sin \psi .{\frac {d\varphi }{dp}}\ =\ 0,$