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ou

${\begin{alignedat}{5}n=1+f^{0}&+\ f'pq^{2}&+&\ f''p^{2}q^{2}&+&{\text{ etc.,}}\\&+\ g^{0}q^{3}&+&\ g'pq^{3}&+&{\text{ etc.,}}\\&&&\ h^{0}q^{4}&+&{\text{ etc.}}\end{alignedat}}$

XXIV.

Les équations de l’art. XXII donnent, dans le cas dont nous nous occupons,

$n\sin \psi ={\frac {dr}{dp}},\quad \cos \psi ={\frac {dr}{dq}},\quad -n\cos \psi =m.{\frac {d\varphi }{dp}},\quad \sin \psi =m.{\frac {d\varphi }{dq}},$

$n^{2}=n^{2}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dp}}\right)^{2},\qquad n^{2}.{\frac {dr}{dq}}.{\frac {d\varphi }{ds}}+{\frac {dr}{dp}}.{\frac {d\varphi }{dp}}=0.$

À l’aide de ces équations, dont la cinquième et la sixième sont déjà comprises dans les autres, on pourra développer les séries pour $r,\ \varphi ,\ \psi ,\ m,$ ou pour des fonctions quelconques de ces quantités ; nous allons traiter ici celles qui sont les plus dignes d’attention.

Comme, pour des valeurs infiniment petites de $p,\ q,$ on doit avoir $r^{2}=p^{2}+q^{2}$ la série pour $r^{2}$ commencera par les termes $p^{2}+q^{2};$ nous obtiendrons les termes d’un ordre plus élevé par la méthode des coefficients indéterminés^[1], à l’aide de l’équation

$\left({\frac {1}{n}}.{\frac {d.r^{2}}{dp}}\right)^{2}+\left({\frac {d.r^{2}}{dq}}\right)=4r^{2},$

savoir :

[1] $\quad r^{2}=p^{2}+{\frac {3}{2}}f^{0}p^{2}q^{2}+{\frac {1}{2}}f'p^{3}q^{2}+\left({\frac {2}{5}}f''-{\frac {4}{45}}f'''\right)p^{4}q^{2}+{\text{ etc.}}$

$\qquad +\ q^{2}+{\frac {1}{2}}g^{0}p^{2}q^{3}+{\frac {2}{5}}g'p^{3}q^{3}$

$+\left({\frac {2}{5}}h^{0}-{\frac {7}{45}}f^{0}f'\right)p^{2}q^{4}.$

1. Nous avons jugé superflu d’écrire ici le calcul, qui peut être un peu abrégé par quelques artifices.