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lance, coupant orthogonalement la ligne pour laquelle $\varphi =0,$ et que nous pourrons regarder comme ligne des abscisses. Soient $\mathrm {A}$ le point pour lequel $r=0,$ $\mathrm {D}$ un point quelconque sur la ligne des abscisses, $\mathrm {B}$ un point quelconque sur la ligne de plus courte distance normale à $\mathrm {AD}$ en $\mathrm {D}$, et $\mathrm {BD} =q,$ de façon qu’on puisse considérer $p$ comme l’abscisse, $q$ comme l’ordonnée du point $\mathrm {B} \ ;$ nous prenons les abscisses positives sur la branche de la ligne des abscisses à laquelle répond $\varphi =0$ tandis que nous regardons $r$ toujours comme une quantité positive ; nous prenons les ordonnées positives dans la région où $\varphi$ est compris entre $0$ et 180 degrés.

Par le théorème de l’art. XVI, nous aurons $\omega =90^{\circ },$ $\mathrm {F} =0$ et $\mathrm {G} =1\ ;$ nous poserons de plus $=n.\ n$ sera ainsi fonction de $p$ et $q,$ et telle que pour $q=0$ elle doit être égale à $1.$ L’application à notre cas de la formule rapportée dans l’art. XVIII montre que, dans une ligne quelconque de plus courte distance, on doit avoir $d\theta ={\frac {dn}{dq}}.dp,\ \theta$ désignant l’angle compris entre l’élément de cette ligne et l’élément de la ligne pour laquelle $q$ est constant. Comme déjà la ligne des abscisses est une ligne de plus courte distance, et que, pour elle, partout $\theta =0$, on voit que, pour $q=0,$ on doit avoir partout ${\frac {dn}{dq}}=0$. De là donc nous concluons que, si $n$ est développée en série suivant les puissances croissantes de $q,$ elle doit avoir la forme suivante :

$n=\ 1\ +\ fq^{2}\ +\ gq^{2}\ +\ hq^{2}\ +\ {\text{etc.,}}$

où $f,\ g,\ h,\ {\text{etc.,}}$ seront fonctions de $p,$ et nous poserons

${\begin{alignedat}{5}f&=f^{0}&+f'p&+f''p^{2}&+{\text{ etc.,}}\\g&=g^{0}&+g'p&+g''p^{2}&+{\text{ etc.,}}\\h&=h^{0}&+h'p&+h''p^{2}&+{\text{ etc.,}}\end{alignedat}}$