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et $\varphi$ l’angle en ce point entre le premier élément de $r$ et une direction fixe. Nous avons ainsi $\mathrm {E} '=1,\ \mathrm {F} '=0,\ \omega =90$ degrés ; ous poserons, de plus, ${\sqrt {\mathrm {G} '}}=m,$ de sorte que l’élément linéaire quelconque devienne $={\sqrt {dr^{2}+m^{2}d\varphi ^{2}}}.$ Par suite, les quatre équations trouvées dans l’article précédent pour $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta ,$ donnent :

(1)	${\sqrt {\mathrm {E} }}.\cos(\omega -\psi )={\frac {dr}{dp}},$
(2)	${\sqrt {\mathrm {G} }}.\cos \psi ={\frac {dr}{dq}},$
(3)	${\sqrt {\mathrm {E} }}.\sin(\psi -\omega )=m{\frac {d\varphi }{dp}},$
(4)	${\sqrt {\mathrm {G} }}.\sin \psi =m.{\frac {dr}{d\varphi }}.$

Mais la dernière et l’avant-dernière donnent

(5)	$\mathrm {EG-F^{2}=E} \left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-2\mathrm {F} .{\frac {dr}{dp}}.{\frac {dr}{dq}}+\mathrm {G} \left({\frac {dr}{dp}}\right)^{2}$
(6)	$\left(\mathrm {E} .{\frac {dr}{dq}}-\mathrm {F} {\frac {dr}{dp}}\right){\frac {d\varphi }{dq}}=\left(\mathrm {F} .{\frac {dr}{dq}}-\mathrm {G} {\frac {dr}{dp}}\right){\frac {d\varphi }{dp}}.$

C’est de ces équations qu’on doit tirer la détermination des quantités $r,\ \varphi ,\ \psi$ et (si besoin est) $m,$ en $p$ et $q\ ;$ savoir : l’intégration de l’équation (5) donnera $r,$ et, ceci trouvé, l’intégration de l’équation (6) donnera $\varphi ,$ et l’une ou l’autre des équations (1), (2), $\psi \ ;$ enfin, on aura $m$ par l’une ou l’autre des équations (3), (4).

L’intégration générale des équations (5), (6) doit nécessairement introduire deux fonctions arbitraires, et nous comprendrons facilement leur signification, si nous faisons attention que ces équations ne sont pas limitées au cas que nous considérons ici, mais qu’elles ont encore lieu, si l’on prend $r$ et $\varphi$ dans la signification générale de