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Par suite, les quatre equations peuvent aussi être présentées ainsi :

$\alpha {\sqrt {\mathrm {E'G'-F'^{2}} }}$	$={\sqrt {\mathrm {EG'} }}.\sin(\omega +\omega '-\psi ),$
$\beta {\sqrt {\mathrm {E'G'-F'^{2}} }}$	$={\sqrt {\mathrm {GG'} }}.\sin(\omega '-\psi ),$
$\gamma {\sqrt {\mathrm {E'G'-F'^{2}} }}$	$={\sqrt {\mathrm {EE'} }}.\sin(\psi -\omega ),$
$\delta {\sqrt {\mathrm {E'G'-F'^{2}} }}$	$={\sqrt {\mathrm {GE'} }}.\sin \psi ,$

Comme, par les substitutions $dp'=\alpha .dp+\beta .dq,$ $dp'=\gamma .dp+\delta .dq,$ le trinôme

$\mathrm {E} 'dp'^{2}+2\mathrm {F} 'dp'.dq'+\mathrm {G} 'dq'^{2}$

doit se changer en $\mathrm {E} dp^{2}+2\mathrm {F} dp.dq+\mathrm {G} dq^{2},$ on obtient facilement

$\mathrm {EG-F^{2}} =(\mathrm {E'G-F'^{2}} )(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}\ ;$

et comme, vice versâ, le second trinôme doit se changer de nouveau dans le premier par la substitution

$(\alpha \delta -\beta \gamma )dp=\delta dp'-\beta dq',\qquad (\alpha \delta -\beta \gamma )dq=-\gamma dp'-\alpha dq',$

nous trouvons

$\mathrm {E} \delta ^{2}-2\mathrm {F} \gamma \delta +\mathrm {G} \gamma ^{2}$	$={\frac {\mathrm {EG-F^{2}} }{\mathrm {E'G'-F'^{2}} }}.\mathrm {E} ',$
$\mathrm {E} \beta \delta -\mathrm {F} (\alpha \delta +\beta \gamma )+\mathrm {G} \alpha \gamma$	$={\frac {\mathrm {EG-F^{2}} }{\mathrm {E'G'-F'^{2}} }}.\mathrm {F} ',$
$\mathrm {E} \beta ^{2}-2\mathrm {F} \alpha \beta +\mathrm {G} \alpha ^{2}$	$={\frac {\mathrm {EG-F^{2}} }{\mathrm {E'G'-F'^{2}} }}.\mathrm {G} '.$

XXII.

Descendons de la recherche générale de l’article précédent à l’application très-large dans laquelle, en laissant encore à $p$ et $q$ leur signification la plus générale, nous adoptons pour $p',\ q',$ les quantités désignées dans l’art. XV par $r,\ \varphi$ (lettres dont nous nous servirons ici aussi), de sorte que, pour un point quelconque de la surface, $r$ soit la plus courte distance à un point déterminé,