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et, par analogie, nous poserons $\mathrm {N'-M'} =\omega ',$ et, de plus, $\mathrm {N-M'} =\psi .$ L’équation que nous venons de trouver peut ainsi se mettre sous la forme suivante :

	${\sqrt {\mathrm {E} }}.dp.\sin(\mathrm {M} '-\omega +\psi )+{\sqrt {\mathrm {G} }}.dq.\sin(\mathrm {M} '+\psi )$
$=$	${\sqrt {\mathrm {E} '}}.dp'.\sin \mathrm {M} '+{\sqrt {\mathrm {G} '}}.dq'.\sin(\mathrm {M} '+\omega '),$

ou sous celle-ci :

	${\sqrt {\mathrm {E} }}.dp.\sin(\mathrm {N} '-\omega -\omega '+\psi )+{\sqrt {\mathrm {G} }}.dq.\sin(\mathrm {N} '-\omega '+\psi )$
$=$	${\sqrt {\mathrm {E} '}}.dp'.\sin(\mathrm {N} '-\omega ')+{\sqrt {\mathrm {G} '}}.dq'.\sin(\mathrm {N} ').$

Et comme l’équation doit évidemment être indépendante de la direction initiale, on peut prendre celle-ci à volonté. En posant ainsi dans la seconde forme $\mathrm {N'} =0,$ ou dans la première $\mathrm {M'} =0,$ nous obtenons les équations suivantes :

${\sqrt {\mathrm {E} '}}.\sin \omega '.dp'$	$=$	${\sqrt {\mathrm {E} }}.\sin(\omega +\omega '-\psi ).dp+{\sqrt {\mathrm {G} }}.\sin(\omega '-\psi ).dq,$
${\sqrt {\mathrm {G} '}}.\sin \omega '.dq'$	$=$	${\sqrt {\mathrm {E} }}.\sin(\psi -\omega ).dp+{\sqrt {\mathrm {G} }}.\sin \psi .dq\ ;$

comme ces équations doivent être identiques avec celles-ci,

$dp'$	$=$	$\alpha dp+\beta dq,$
$dq'$	$=$	$\gamma dp+\delta dq.$

elles donneront la détermination suivante des coefficients $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta \ :$

$\alpha ={\sqrt {\frac {\mathrm {E} }{\mathrm {E} '}}}.{\frac {\sin(\omega +\omega '-\psi )}{\sin \omega '}},$	$\qquad$	$\beta ={\sqrt {\frac {\mathrm {G} }{\mathrm {E} '}}}.{\frac {\sin(\omega '-\psi )}{\sin \omega '}},$
$\gamma ={\sqrt {\frac {\mathrm {E} }{\mathrm {G} '}}}.{\frac {\sin(\psi '-\omega )}{\sin \omega '}},$		$\delta ={\sqrt {\frac {\mathrm {G} }{\mathrm {G} '}}}.{\frac {\sin \psi }{\sin \omega '}}.$

On doit leur adjoindre les équations

$\cos \omega ={\frac {\mathrm {E} }{\mathrm {EG} }},$	$\qquad$	$\cos \omega '={\frac {\mathrm {F'} }{\mathrm {E'G'} }},$
$\sin \omega ={\sqrt {\frac {\mathrm {EG-F^{2}} }{\mathrm {EG} }}},$	$\qquad$	$\sin \omega '={\sqrt {\frac {\mathrm {E'G'-F'^{2}} }{\mathrm {E'G'} }}},$