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est à $4\pi .$ Ce théorème, qu’on doit regarder, si nous ne nous trompons, comme un des plus élégants de la théorie des surfaces courbes, peut aussi être énoncé de la manière suivante :

L’excès sur 180 degrés de la somme des angles d’un triangle formé sur une surface courbe concavo-concave par des lignes de plus courte distance, ou la différence à 180 degrés de la somme des angles d’un triangle formé sur une surface courbe concavo-convexe par des lignes de plus courte distance, a pour mesure l’aire de la partie de la surface sphérique qui correspond à ce triangle, par les directions des normales, pourvu qu’on égale la surface entière à 720 degrés.

Plus généralement, dans un polygone quelconque de $n$ côtés, formés chacun par des lignes de plus courte distance, l’excès de la somme des angles sur $(2n-4)$ droits, ou la différence à $(2n-4)$ droits (suivant la nature de la surface courbe), est égal à l’aire du polygone correspondant sur la surface de la sphère, comme il découle spontanément du théorème précédent par le partage du polygone en triangles.

XXI.

Rendons aux lettres $p,\ q,\mathrm {\ E,\ F,\ G,} \ \pi$ les significations générales que nous leur avions données plus haut, et supposons, en outre, que la nature de la surface courbe est déterminée d’une manière semblable par deux autres variables $p',\ q',$ dans laquelle l’élément linéaire s’exprime par

${\sqrt {\mathrm {E} 'dp'^{2}+2\mathrm {F} 'dp'.dq'+\mathrm {G} 'dq'^{2}}},$

Ainsi, à un point quelconque de la surface défini par des valeurs déterminées des variables $p,\ q,$ répondront des yaleurs déterminées des variables $p',\ q',$ celles-ci seront