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est à Ce théorème, qu’on doit regarder, si nous ne nous trompons, comme un des plus élégants de la théorie des surfaces courbes, peut aussi être énoncé de la manière suivante :

L’excès sur 180 degrés de la somme des angles d’un triangle formé sur une surface courbe concavo-concave par des lignes de plus courte distance, ou la différence à 180 degrés de la somme des angles d’un triangle formé sur une surface courbe concavo-convexe par des lignes de plus courte distance, a pour mesure l’aire de la partie de la surface sphérique qui correspond à ce triangle, par les directions des normales, pourvu qu’on égale la surface entière à 720 degrés.

Plus généralement, dans un polygone quelconque de côtés, formés chacun par des lignes de plus courte distance, l’excès de la somme des angles sur droits, ou la différence à droits (suivant la nature de la surface courbe), est égal à l’aire du polygone correspondant sur la surface de la sphère, comme il découle spontanément du théorème précédent par le partage du polygone en triangles.


XXI.


Rendons aux lettres les significations générales que nous leur avions données plus haut, et supposons, en outre, que la nature de la surface courbe est déterminée d’une manière semblable par deux autres variables dans laquelle l’élément linéaire s’exprime par

Ainsi, à un point quelconque de la surface défini par des valeurs déterminées des variables répondront des yaleurs déterminées des variables celles-ci seront