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Nous obtenons ainsi
puisque 
est situé sur le grand cercle dont le pôle est 
. De là nous concluons que 
est indépendant de 
et, par conséquent, fonction seulement de 
; mais pour 
il est évident qu’on a 
par conséquent aussi 
et 
indépendamment de .
Ainsi, nécessairement, on devra avoir généralement
et aussi 
c’est-à-dire 
De là
nous tirons :
Théorème. — Si l’on mène sur une surface courbe
d’un même point initial une multitude de lignes de plus
courte distance de même longueur, la ligne qui joindra
leurs extrémités sera normale à chacune d’elles.
Nous avons tenu à déduire ce théorème de la propriété
fondamentale des lignes de plus courte distance. Du reste,
on peut se convaincre de sa vérité, sans aucun calcul, par
le raisonnement suivant : Soient 
deux lignes de plus courte distance de même longueur, comprenant en 
un angle infiniment petit ; et supposons que l’un des angles de l’élément 
avec les lignes 
, 
diffère d’une quantité finie de l’angle droit, d’où, par la loi de la continuité, l’un sera plus grand, l’autre moindre que l’angle droit. Supposons que l’angle en 
et prenons sur la ligne 
un point 
, tel qu’on ait
Comme on peut considérer le triangle infiniment petit
comme plan, on aura
et, par suite,
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