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expression que nous changeons en cette forme ,

${\frac {dx.\delta x+dy.\delta y+dz.\delta z}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}},$

$-\int \left(\delta x.d{\frac {dx}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}+\ \delta y.d{\frac {dy}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}\right.$

$\left.\ +\ \delta z.d{\frac {dz}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}\right).$     

Dans le cas où la ligne est la plus courte entre ses points extrêmes, on sait que tout ce qui se trouve sous le signe intégral doit s’évanouir. Quand la ligne doit être sur une surface donnée par l’équation

$\mathrm {P} dx$

$+\ \mathrm {Q} dy$

$+\ \mathrm {R} dz$

$=\ 0,$

les variations $\delta x,\ \delta y,\ \delta z$ doivent satisfaire aussi à l’équation

$\mathrm {P} \delta x$

$+\ \mathrm {Q} \delta y$

$+\ \mathrm {R} \delta z$

$=\ 0\ ;$

d’où, par des principes connus, on voit facilement que les différentielles

$d.{\frac {dx}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}},$

$\;d.{\frac {dy}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}},\;$

$d.{\frac {dz}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}},$

doivent être respectivement proportionnelles aux quantités $\mathrm {P,\ Q,\ R} .$ Soient maintenant $dr$ l’élément d’une ligne courbe, $\lambda$ un point sur la surface de la sphère représentant la direction de cet élément, $\mathrm {L}$ un point sur la surface de la sphère représentant la direction de la normale à la surface courbe ; soient enfin $\xi ,\ \eta ,\ \zeta$ les coordonnées du point $\lambda ,$ et $\mathrm {X,\ Y,\ Z}$ les coordonnées du point $\mathrm {L}$ par rapport au centre de la sphère. On aura ainsi

$dx=\xi dr,$

$\quad dy=\eta dr,\quad$

$dz=\zeta dr\ ;$