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La combinaison de cette equation avec l’équation (10) donne

$\mathrm {DD''-D'^{2}} =\left(\alpha \alpha ''+\beta \beta ''+\gamma \gamma ''-\alpha '^{2}-\beta '^{2}-\gamma '^{2}\right)\Delta$

$+\mathrm {E} \left(n'^{2}-nn''\right)+\mathrm {F} \left(nm''-2m'n'+mn''\right)+\mathrm {G} \left(m'^{2}-mm''\right).$

Il est évident qu’on a

${\begin{alignedat}{4}{\frac {d\mathrm {E} }{dp}}=&2m,\qquad &{\frac {d\mathrm {E} }{dq}}=&2m',\qquad &{\frac {d\mathrm {F} }{dp}}=&m'+n,\qquad &{\frac {d\mathrm {F} }{dq}}=&m''+n',\\&&{\frac {d\mathrm {G} }{dp}}=&2n',&{\frac {d\mathrm {G} }{dq}}=&2n''\end{alignedat}}$

ou

${\begin{alignedat}{3}m=&{\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {E} }{dp}},&m'=&{\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {E} }{dq}},&m''=&{\frac {d\mathrm {F} }{dq}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {G} }{dp}},\\n=&{\frac {d\mathrm {F} }{dp}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {E} }{dq}},\qquad &n'=&{\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {G} }{dp}},\qquad &n''=&{\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {G} }{dq}},\end{alignedat}}$

D’ailleurs on peut facilement s’assurer qu’on a

$\alpha \alpha ''+\beta \beta ''+\gamma \gamma ''-\alpha '^{2}-\beta '^{2}-\gamma '^{2}={\frac {dn}{dq}}-{\frac {dn'}{dp}}={\frac {dm''}{dp}}-{\frac {dm'}{dq}}$

$=-{\frac {1}{2}}.{\frac {d^{2}\mathrm {E} }{dq^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dp.dq}}-{\frac {1}{2}}.{\frac {d^{2}\mathrm {G} }{dp^{2}}}.$

Si nous substituons ces diverses expressions dans la formule que nous avons trouvée à la fin de l’article précédent pour la mesure de la courbure, nous parvenons à la formule suivante, qui ne contient que les seules quantités $\mathrm {E,\ F,\ G} ,$ et leurs quotients différentiels du premier et du second ordre,

${\begin{aligned}&4\mathrm {\left(EG-F^{2}\right)} ^{2}k=\mathrm {E} \left[{\frac {d\mathrm {C} }{dq}}.{\frac {d\mathrm {G} }{dq}}-2{\frac {d\mathrm {F} }{dp}}.{\frac {d\mathrm {G} }{dq}}+\left({\frac {d\mathrm {G} }{dp}}\right)^{2}\right]\\+&\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {E} }{dp}}.{\frac {d\mathrm {G} }{dq}}+{\frac {d\mathrm {E} }{dq}}.{\frac {d\mathrm {G} }{dp}}-2{\frac {d\mathrm {E} }{dq}}.{\frac {d\mathrm {F} }{dq}}+4{\frac {d\mathrm {F} }{dp}}.{\frac {d\mathrm {F} }{dq}}-2{\frac {d\mathrm {F} }{dp}}.{\frac {d\mathrm {G} }{dp}}\right)\\+&\mathrm {G} \left[{\frac {d\mathrm {E} }{dp}}.{\frac {d\mathrm {G} }{dp}}-2{\frac {d\mathrm {E} }{dp}}.{\frac {d\mathrm {F} }{dq}}+\left({\frac {d\mathrm {E} }{dq}}\right)^{2}\right]\\-&2\mathrm {\left(EG-F^{2}\right)} \left({\frac {d^{2}\mathrm {E} }{dq^{2}}}-2{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dp.dq}}+{\frac {d^{2}\mathrm {G} }{dp^{2}}}\right).\end{aligned}}$