Page:Gauss - Recherches générales sur les surfaces courbes, 1852.djvu/25

( 23 )

mais aussi, quand $z$ est considérée comme fonction de $x,\ y,$ on a

${\frac {dz}{dx}}=t$		$=-{\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {C} }},$
${\frac {dz}{dy}}=u$		$=-{\frac {\mathrm {B} }{\mathrm {C} }}.$

Nous tirons de $dx=adp+a'dq,\,dy=bdp+b'dq,$

$\mathrm {C} dp=$		$b'dx-a'dy,$
$\mathrm {C} dq=$	$-$	$b\ dx+ady,$

Les différentielles complètes de $t$ et de $u$ sont donc

$\mathrm {C} ^{3}dt=$		$\left(\mathrm {A} {\frac {d\mathrm {C} }{dp}}-C{\frac {d\mathrm {A} }{dp}}\right)(b'dx-a'dy)$	$+\left(\mathrm {C} {\frac {d\mathrm {A} }{dq}}-\mathrm {A} {\frac {d\mathrm {C} }{dq}}\right)(bdx-ady),$
$\mathrm {C} ^{3}du=$		$\left(\mathrm {B} {\frac {d\mathrm {C} }{dp}}-\mathrm {C} {\frac {d\mathrm {B} }{dp}}\right)(b'dx-a'dy)$	$+\left(\mathrm {C} {\frac {d\mathrm {B} }{dq}}-\mathrm {B} {\frac {d\mathrm {C} }{dq}}\right)(bdx-ady).$

Si maintenant, dans ces formules, nous substituons

${\frac {d\mathrm {A} }{dp}}=$	$c'\beta$	$+\ b\gamma '$	$-\ c\beta '$	$-\ b'\gamma ,$
${\frac {d\mathrm {A} }{dq}}=$	$c'\beta '$	$+\ b\gamma ''$	$-\ c\beta ''$	$-\ b'\gamma ',$
${\frac {d\mathrm {B} }{dp}}=$	$a'\gamma$	$+\ c\alpha '$	$-\ a\gamma '$	$-\ c'\alpha ,$
${\frac {d\mathrm {B} }{dq}}=$	$a'\gamma '$	$+\ c\alpha ''$	$-\ a\gamma ''$	$-\ c'\alpha ',$
${\frac {d\mathrm {C} }{dp}}=$	$b'\alpha$	$+\ a\beta '$	$-\ b\alpha '$	$-\ a'\beta ,$
${\frac {d\mathrm {C} }{dq}}=$	$b'\alpha '$	$+\ a\beta ''$	$-\ b\alpha ''$	$-\ a'\beta ',$

et si nous considérons que les valeurs des différentielles $dt,\ du,$ ainsi obtenues, doivent être respectivement égales, indépendamment des différentielles $dx,\ dy,$ aux quantités $\mathrm {T} dx+\mathrm {U} dy,\;\mathrm {U} dx+\mathrm {V} dy,$ nous trouverons, après quelques transformations qui se présentent assez