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gine en ce point, l’expression des coordonnées $z$ acquiert évidemment cette forme,

$z={\frac {1}{2}}\mathrm {T} ^{0}x^{2}+\mathrm {U} ^{0}xy+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} ^{0}y^{2}+\Omega ,$

où $\Omega$ sera d’un ordre plus élevé que le second. Faisant ensuite tourner dans leur plan les axes des $x,\ y$ d’un angle $\mathrm {M} ,$ tel qu’on ait

$\operatorname {tang} 2\mathrm {M} ={\frac {2\mathrm {U} ^{0}}{\mathrm {T} ^{0}-\mathrm {V} ^{0}}},$

on voit facilement que l’équation prendra cette forme,

$z={\frac {1}{2}}\mathrm {T} x^{2}+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} y^{2}+\Omega \ ;$

et l’on satisfait ainsi à la troisième condition. Cela fait, on voit que :

1. Si la surface courbe est coupée par un plan normal, et passant par l’axe des coordonnées $x,$ le rayon de courbure de la section au point $\mathrm {A}$ sera égal à ${\frac {1}{\mathrm {T} }},$ le signe positif ou négatif indiquant que la courbe tourne sa concavité ou sa convexité vers la région où les coordonnées $z$ sont positives.

2. De la même manière, ${\frac {1}{\mathrm {V} }}$ sera au point $A$ le rayon de courbure d’une courbe plane, section de la surface courbe par le plan passant par le plan des $y,\ z,$

3. En posant $x=r\cos \varphi ,y=r\sin \varphi ,$ on a

$z={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {T} \cos ^{2}\varphi +\mathrm {V} \sin ^{2}\varphi \right)+\Omega \ ;$

d’où l’on conclut que, si la section est faite par un plan normal en $\mathrm {A}$ à la surface, et faisant avec l’axe des $x$