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nous aurons, d’après des formules données plus haut,

$\mathrm {X} =-t\mathrm {Z} ,\quad \mathrm {Y} =-u\mathrm {Z} ,\quad (1+t^{2}+u^{2})\mathrm {Z} ^{2}=1,$

et, de là,

${\begin{aligned}&d\mathrm {X} =-\mathrm {Z} dt-td\mathrm {Z} ,\\&d\mathrm {Y} =-\mathrm {Z} du-ud\mathrm {Z} ,\\&\left(1+t^{2}+u^{2}\right)d\mathrm {Z} +\mathrm {Z} (tdt+udu)=0,\end{aligned}}$

ou

${\begin{aligned}d\mathrm {Z} =&-\mathrm {Z} ^{3}(tdt+udu),\\d\mathrm {X} =&-\mathrm {Z} ^{3}(1+u^{2})dt+\mathrm {Z} ^{3}tudu,\\d\mathrm {Y} =&+\mathrm {Z} ^{3}tudt-\mathrm {Z} ^{3}(1+t^{2})du\end{aligned}}$

et aussi

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=&\mathrm {Z} ^{3}[-(1+u^{2})\mathrm {T} +tu\mathrm {U} ],\\{\frac {d\mathrm {X} }{dy}}=&\mathrm {Z} ^{3}[-(1+u^{2})U+tu\mathrm {V} ],\\{\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}=&\mathrm {Z} ^{3}[tu\mathrm {T} -(1+t^{2})\mathrm {U} ],\\{\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}=&\mathrm {Z} ^{3}[tu\mathrm {U} -(1+t^{2})\mathrm {V} ].\end{aligned}}$

En substituant ces valeurs dans l’expression précédente, il vient

$k=\mathrm {Z^{6}(TV-U^{2})} (1+t^{2}+u^{2})=\mathrm {Z^{4}(TV-U^{2})} ={\frac {\mathrm {TV-U^{2}} }{(1+t^{2}+u^{2})^{2}}}.$

VIII.

Par un choix convenable de l’origine et des axes des coordonnées, on peut faire facilement que, pour un point déterminé $\mathrm {A} ,$ les valeurs des quantités $t,\ u,\ \mathrm {U}$ s’évanouissent. D’abord les deux premières conditions sont remplies, si l’on prend le plan tangent en ce point pour plan des coordonnées $x,\ y.$ Si, de plus, on place l’ori-