totale, en en déterminant la quantité par l’aire de la figure correspondante sur sa surface sphérique, et le signe par la position, et enfin d’assigner à la figure entière la courbure totale provenant de l’addition des courbures totales qui répondent aux différentes parties. Ainsi généralement la courbure totale d’une figure est égale à en dénotant par l’élément de l’aire de la figure, et par la mesure de la courbure en un point quelconque. Quant à ce qui appartient à la représentation géométrique de cette intégrale, ce qu’il y a de principal sur ce sujet revient à ce qui suit. Au contour de la figure sur la surface courbe (sous la restriction de l’art. III) correspondra toujours sur la surface sphérique une ligne revenant sur elle-même. Si elle ne se coupe point elle-même en aucun endroit, elle partagera toute la surface sphérique en deux parties, dont l’une répondra à la figure sur la surface courbe, et dont l’aire (prise positivement ou négativement suivant que par rapport à son contour elle est placée d’une maniére semblable à celle de la figure sur la surface courbe par rapport au sien, ou d’une manière inverse), donnera la courbure totale de cette dernière. Mais chaque fois que cette ligne se coupe elle-même une ou plusieurs fois, elle présentera une figure compliquée, à laquelle cependant on peut attribuer une aire déterminée avec autant de raison qu’aux figures sans nœuds ; et cette aire, comprise comme elle doit l’être, donnera toujours une valeur exacte de la courbure totale. Nous nous réservons cependant de donner à une autre occasion une exposition plus étendue sur le sujet des figures conçues de la manière la plus générale.
VII.
Cherchons maintenant une formule pour exprimer la mesure de la courbure pour un point quelconque de la
