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plus haut, on obtient

$(a\mathrm {X} +b\mathrm {Y} +c\mathrm {Z} )dp+(a'\mathrm {X} +b'\mathrm {Y} +c'\mathrm {Z} )dq=0.$

Comme cette équation doit avoir lieu indépendamment des valeurs des différentielles $dp,\ dq,$ on devra avoir, évidemment,

$a\mathrm {X} +b\mathrm {Y} +c\mathrm {Z} =0,\qquad a'\mathrm {X} +b'\mathrm {Y} +c'\mathrm {Z} =0\ ;$

d’où nous voyons que $\mathrm {X,\ Y,\ Z}$ doivent être proportionnels aux quantités

$bc'-cb',\qquad ca'-ac',\qquad ab'-ba'.$

Ainsi, en posant, pour abréger,

${\sqrt {(bc'-cb')^{2}+(ca'-ac')^{2}+(ab'-ba')^{2}}}=\Delta ,$

on aura, ou

$\mathrm {X} ={\frac {bc'-cb'}{\Delta }},\quad \mathrm {Y} ={\frac {ca'-ac'}{\Delta }},\quad \mathrm {Z} ={\frac {ab'-ba'}{\Delta }},$

ou

$\mathrm {X} ={\frac {cb'-bc'}{\Delta }},\quad \mathrm {Y} ={\frac {ac'-ca'}{\Delta }},\quad \mathrm {Z} ={\frac {ba'-ab'}{\Delta }}.$

À ces deux méthodes générales, vient s’ajouter une troisième, dans laquelle une des coordonnées, $z$ par exemple, se présente sous forme de fonction des deux autres $x,\ y.$ Cette méthode n’est évidemment autre chose qu’un cas particulier de la première méthode ou de la seconde. Si l’on pose

$dz=t\ dx+u\ dy,$

on aura, ou

$\mathrm {X} ={\frac {-t}{\sqrt {1+t^{2}+u^{2}}}},\quad \mathrm {Y} ={\frac {-u}{\sqrt {1+t^{2}+u^{2}}}},\quad \mathrm {Z} ={\frac {1}{\sqrt {1+t^{2}+u^{2}}}},$

ou

$\mathrm {X} ={\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}+u^{2}}}},\quad \mathrm {Y} ={\frac {u}{\sqrt {1+t^{2}+u^{2}}}},\quad \mathrm {Z} ={\frac {-1}{\sqrt {1+t^{2}+u^{2}}}}.$