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De la combinaison de ces équations dérive

$\mathrm {X} dx\ +\ \mathrm {Y} dy\ +\ \mathrm {Z} dz\ =\ 0.$

On a deux méthodes générales pour montrer le caractère d’une surface courbe. La première méthode se sert de l’équation entre les coordonnées $x,\ y,\ z,$ que nous supposerons réduite à la forme $\mathrm {W} =0,$ où $\mathrm {W}$ sera fonction des indéterminées $x,\ y,\ z.$ Soit la différentielle complète de la fonction $\mathrm {W} ,$

$d\mathrm {W} =\mathrm {P} dx\ +\ \mathrm {Q} dy\ +\ \mathrm {R} dz\ ;$

on aura, pour la surface courbe,

$\mathrm {P} dx\ +\ \mathrm {Q} dy\ +\ \mathrm {R} dz\ =\ 0,$

et, par suite,

$\mathrm {P} .\cos(1)\lambda +\mathrm {Q} .\cos(2)\lambda +\mathrm {R} .\cos(3)\lambda =0.$

Comme cette équation, de même que celle que nous avons établie plus haut, doit avoir lieu pour les directions de tous les éléments $ds$ sur la surface courbe, on verra facilement que $\mathrm {X,\ Y,\ Z}$ doivent être proportionnels à $\mathrm {P,\ Q,\ R} ,$ et, par suite, comme $\mathrm {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}} =1,$ on aura, ou

$\mathrm {X} ={\frac {P}{\sqrt {\mathrm {P} ^{2}+\mathrm {Q} ^{2}+\mathrm {R} ^{2}}}},\ \mathrm {Y} ={\frac {\mathrm {Q} }{\sqrt {\mathrm {P} ^{2}+\mathrm {Q} ^{2}+\mathrm {R} ^{2}}}},\ \mathrm {Z} ={\frac {\mathrm {R} }{\sqrt {\mathrm {P} ^{2}+\mathrm {Q} ^{2}+\mathrm {R} ^{2}}}},$

ou

$\mathrm {X} ={\frac {-\mathrm {P} }{\sqrt {\mathrm {P} ^{2}+\mathrm {Q} ^{2}+\mathrm {R} ^{2}}}},\ \mathrm {Y} ={\frac {-\mathrm {Q} }{\sqrt {\mathrm {P} ^{2}+\mathrm {Q} ^{2}+\mathrm {R} ^{2}}}},\ \mathrm {Z} ={\frac {-\mathrm {R} }{\sqrt {\mathrm {P} ^{2}+\mathrm {Q} ^{2}+\mathrm {R} ^{2}}}}.$

La seconde méthode exprime les coordonnées sous forme de fonctions de deux variables $p$ et $q.$ Supposons que, par la différentiation de ces fonctions, il vienne

${\begin{aligned}dx&=\ a\ dp\ +\ a'dq,\\dy&=\ b\ dp\ +\ b'dq,\\dz&=\ c\ dp\ +\ c'dq.\end{aligned}}$

Par la substitution de ces valeurs dans la formule donnée