aurait ou divisible par , en supposant
, ce qui est permis. Mais cette condition ne peut avoir lieu,
à moins que l’un des deux nombres , ne soit divisible
par , ce qui est impossible, puisque chacun d’eux est plus petit que , ou bien que l’un étant divisible par , l’autre le
soit par ou chacun d’eux par ; ce qui est encore impossible, puisqu’il s’ensuivrait que la somme et la différence ,
et partant et eux-mêmes seraient divisibles par , contre l’hypothèse. Donc enfin parmi les nombres non-divisibles par , et
moindres que le module, il y a résidus, et les autres,
en même nombre, sont non-résidus.
Ce théorème peut se déduire aussi de la considération des indices, comme au no 97.
101. Tout nombre non-divisible par , qui est résidu de , sera aussi résidu de celui qui ne sera pas résidu de ne le sera pas non plus de
La seconde partie de cette proposition est évidente par elle-même ; ainsi si la première n’était pas vraie, parmi les nombres plus petits que et non-divisibles par , il y en aurait plus qui fussent résidus de qu’il n’y en aurait qui le fussent de , c’est-à-dire plus de . Mais on peut voir sans peine que le nombre des résidus de qui se trouvent entre et est précisément .
Il est tout aussi facile de trouver effectivement un quarré qui soit congru à un résidu donné, suivant le module , si l’on connaît un quarré congru à ce résidu suivant le module .
Soit en effet un quarré congru au résidu donné , suivant le module , on en déduira, de la manière suivante, un quarré , suivant le module , étant et non plus grand que , Supposons que la racine du quarré cherché soit ; et il est aisé de s’assurer que c’est là la forme qu’elle doit avoir. Il faut donc qu’on ait , ou comme , on aura,