On prouve facilement que tous les quarrés , , sont incongrus ; car si l’on pouvait avoir et que les nombres et fussent inégaux et , soit , on aurait , divisible par ; mais chaque facteur étant , la supposition ne peut subsister (no 13). Il y a donc , résidus quadratiques entre les nombres , , il ne peut y en avoir davantage, car en y joignant , le nombre en devient , limite qu’il ne peut pas dépasser. Donc les autres nombres seront non-résidus, et il y en aura .
Comme zéro est toujours résidu, nous l’excluons, ainsi que les nombres divisibles par le module, parceque ce cas est clair par lui-même, et ne pourrait que nuire à l’élégance des théorèmes ; par la même raison nous excluons aussi le nombre .
97. Comme la plupart des choses que nous exposerons dans cette section peuvent être déduites des principes exposés dans la section précédente, et comme il n’est pas inutile de rechercher la vérité par différentes voies ; nous nous attacherons à faire voir la liaison des différentes méthodes. Par exemple, il est aisé de voir que tous les nombres congrus à un quarré ont des indices pairs, et que ceux qui ne sont congrus à aucun quarré ont des indices impairs. Mais puisque est un nombre pair, il y aura autant d’indices pairs qu’il y en a d’impairs, savoir : ; parconséquent il y aura autant de résidus que de non-résidus.
- Pour les moduleson a les résidus
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| etc. |
