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RECHERCHES

cela ils reviennent dans l’ordre inverse $10,$ $12,$ $3,$ etc. Ainsi un nombre qui n’est pas congru avec l’un de ceux-là, ou qui l’est à l’un des nombres $2,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $11,$ ne peut être congru à aucun quarré.

Suivant le module $15,$ on trouve pour résidus minima $0,$ $1,$ $4,$ $9,$ $1,$ $10,$ $6,$ $4,$ qui reviennent ensuite dans l’ordre inverse ; ainsi le nombre des résidus qui peuvent être congrus à un quarré, est ici moindre que ${\frac {m+1}{2}}$ puisqu’ils sont $0,$ $1,$ $4,$ $6,$ $9,$ $10.$ Les nombres $2,$ $3,$ $5,$ $7,$ $8,$ $11,$ $12,$ $13,$ $14,$ et ceux qui leur sont congrus, ne peuvent être congrus à aucun quarré.

95. Il résulte de là que pour un module quelconque, tous les nombres peuvent se distinguer en deux classes, dont l’une renferme tous ceux qui peuvent être congrus à un quarré, et l’autre tous ceux qui ne le peuvent pas. Nous appellerons les premiers résidus quadratiques^[1] du nombre que nous prenons pour module, et les derniers non-résidus quadratiques ; ou même plus simplement toutes les fois qu’il n’en résultera pas d’ambiguité, résidus et non-résidus. Au reste il est évident qu’il suffit de classer les nombres $0,$ $1,$ $2$ … $m-1\,:$ car les nombres congrus doivent être rapportés à la même classe.

Nous commencerons aussi dans ces Recherches par les modules premiers, ce qui doit toujours être sous-entendu, quand nous n’en avertirons pas expressément. Mais il faut exclure le nombre $2$ , ou ne considérer que des nombres impairs.

96. Le nombre premier $\mathrm {p}$ étant pris pour module, la moitié des nombres $1,\,2,\,3\dots \mathrm {p-1,}$ sera composée de résidus quadratiques, et l’autre moitié de non-résidus, c’est-à-dire qu’il y aura ${\frac {1}{2}}(\mathrm {p-1} )$ résidus, et autant de non-résidus.

↑ Dans ce cas-ci, nous donnons à ces expressions un sens un peu différent de celui qu’elles ont eu jusqu’à présent, car lorsque $r\equiv a^{2}{\pmod {m}},$ il faudrait dire que $r$ est résidu du quarré $a^{2},$ suivant le module $m$ ; mais pour abréger, nous appellerons dans cette section $r$ , résidu quadratique de $m$ , et il n’y a pas d’ambiguité à craindre, car nous nemploîrons plus dorénavant l’expression résidu, quand elle signifiera un nombre congru, à moins qu’il ne soit question de résidus minima, et dans ce cas il n’y aura pas d’obscurité.

[1] Dans ce cas-ci, nous donnons à ces expressions un sens un peu différent de celui qu’elles ont eu jusqu’à présent, car lorsque $r\equiv a^{2}{\pmod {m}},$ il faudrait dire que $r$ est résidu du quarré $a^{2},$ suivant le module $m$ ; mais pour abréger, nous appellerons dans cette section $r$ , résidu quadratique de $m$ , et il n’y a pas d’ambiguité à craindre, car nous nemploîrons plus dorénavant l’expression résidu, quand elle signifiera un nombre congru, à moins qu’il ne soit question de résidus minima, et dans ce cas il n’y aura pas d’obscurité.

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