Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/91

69

ARITHMÉTIQUES.

SECTION QUATRIÈME.

Des Congruences du second degré.

94. Théorème. Un nombre quelconque $m$ étant pris pour module, il ne peut y avoir dans la suite $1,\,2,\,3,\dots \mathrm {m-1,}$ plus de ${\frac {1}{2}}\mathrm {m} +1$ nombres, quand $\mathrm {m}$ est pair, et plus de ${\frac {1}{2}}\mathrm {m} +{\frac {1}{2}},$ quand $\mathrm {m}$ est impair, qui soient congrus à un quarré.

Comme les quarrés des nombres congrus sont congrus entre eux, un nombre qui peut être congru à un quarré, le sera à un autre quarré, dont la racine est plus petite que $m.$ Il suffit donc de considérer les résidus minima des quarrés $0,$ $1,$ $4,$ $9$… $(m-1)^{2}\,;$ mais on voit facilement qu’on a $(m-1)^{2}\equiv 1,$ $(m-2)^{2}\equiv 2^{2},$ $(m-3)^{2}\equiv 3^{2},$ etc. Donc aussi, quand $m$ est pair, les quarrés $\left({\frac {m}{2}}-1\right)^{2}$ et $\left({\frac {m}{2}}+1\right)^{2},$ $\left({\frac {m}{2}}-2\right)^{2}$ et $\left({\frac {m}{2}}+2\right)^{2},$ etc., auront les mêmes résidus minima ; et quand $m$ est impair, $\left({\frac {m-1}{2}}\right)^{2}$ et $\left({\frac {m+1}{2}}\right)^{2},$ $\left({\frac {m-3}{2}}\right)^{2}$ et $\left({\frac {m+3}{2}}\right)^{2},$ etc. seront congrus. D’où il suit évidemment qu’il n’y a pas d’autres nombres congrus à un quarré que ceux qui le sont à l’un des quarrés : $0,$ $1,$ $4,$ $9$,… $\left({\frac {m}{2}}\right)^{2},$ quand $m$ est pair ; et que quand $m$ est impair, il n’y en a pas d’autres que ceux qui sont congrus à l’un des quarrés $0,$ $1,$ $4,$ $9$… $\left({\frac {m-1}{2}}\right)^{2}.$ Donc il y aura au plus ${\frac {m}{2}}+1$ résidus minima, différens dans le premier cas, et ${\frac {m+1}{2}}$ dans le second.

Exemple Suivant le module $13$, les résidus minima des quarrés des nombres $0,$ $1,$ $2,$ $3,$… $6,$ sont $0,$ $1,$ $4,$ $9,$ $3,$ $12,$ $10,$ et après