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RECHERCHES

à $B$, etc. suivant le module $p$, d’où il résultera que le nombre de toutes les racines sera $kp^{\nu }$ ou $e$, comme nous l’avons avancé. Cela posé, nous allons démontrer que

1^o . Si $\alpha$ est une racine congrue à $A$, suivant le module $p$, $\alpha +p^{n-\nu }$, $\alpha +2p^{n-\nu }$, $\alpha +3p^{n-\nu }$ … $\alpha +p^{\nu -1}p^{n-\nu }$, seront aussi des racines.

2^o . Aucun nombre congru avec $A$ ne pourra être racine, s’il n’est de la forme $\alpha +hp^{n-\nu }$, $h$ étant un nombre entier quelconque ; d’où il suit qu’on aura $p$ racines différentes, et qu’on n’en aura pas davantage ; la même chose aura lieu par rapport à $B$, $C$, etc.

3^o . Nous ferons voir comment on peut toujours trouver une racine congrue à $A$ suivant le module $p$.

86. Théorème. Si $\mathrm {t}$ est comme dans l’article précèdent un nombre divisible par $\mathrm {p^{\nu }}$ et non par $\mathrm {p^{\nu +1}} ,$ on aura $\mathrm {(\alpha +hp^{\mu })^{t}-\alpha ^{t}\equiv 0{\pmod {p^{\mu +\nu }}}} ,$ et $\mathrm {\equiv \alpha ^{t-1}hp^{\mu }t{\pmod {p^{\mu +\nu +1}}}}$. La seconde partie du théorème n’a pas lieu quand $p=2$ et $\mu =1$.

On pourrait déduire la démonstration de ce théorème du développement de la puissance d’un binôme, si on faisait voir que tous les termes, après le second, sont divisibles par $p^{\mu +\nu +1}$ mais comme la considération des dénominateurs des coefficiens jette dans quelque embarras, nous préférons la méthode suivante :

Supposons d’abord $\mu >1$ et $\nu =1$, on a généralement $x^{t}-y^{t}=(x-y)(x^{t-1}+x^{t-2}y+x^{t-3}y^{2}+...+y^{t-1})$ ; donc $(\alpha +hp^{\mu })^{t}-\alpha ^{t}=hp^{\mu }\{(\alpha +hp^{\mu })^{t-1}+(\alpha +hp^{\mu })^{t-2}\alpha \ +\ etc.\ +\alpha ^{t-1}\};$ mais on a $\alpha +hp^{\mu }\equiv \alpha {\pmod {p^{2}}}$ ; donc chaque terme $(\alpha +hp^{\mu })^{t-1},$ $(\alpha +hp^{\mu })^{t-2}\alpha$, etc. sera $\equiv \alpha ^{t-1}{\pmod {p^{2}}}$, et parconséquent la somme de tous $\equiv t\alpha ^{t-1}{\pmod {p^{2}}}$, ou bien cette somme sera de la forme $t\alpha ^{t-1}+Vp^{2}$, $V$ étant un nombre quelconque. Donc $(\alpha +hp^{\mu })^{t}-\alpha ^{t}$ sera de la forme $\alpha ^{t-1}hp^{\nu }$, c’est-à-dire qu’il sera $\equiv \alpha ^{t-1}hp^{\mu }t{\pmod {p^{\mu +2}}}$ et $\equiv 0{\pmod {p^{\mu +1}}}$. Ainsi, pour ce cas, le théorème est démontré.