Si désigne combien il y a de nombres premiers avec et moindres que lui, c’est-à-dire si (art. 38), l’exposant de la plus petite puissance d’un nombre donné premier avec qui est congrue à l’unité suivant le module sera ou une partie aliquote de
La démonstration de la proposition du no 49 peut servir également dans ce cas-ci, en y substituant pour pour et au lieu des nombres les nombres premiers avec et moindres que lui ; ainsi nous y renvoyons le lecteur. Mais les autres démonstrations dont nous avons parlé (nos 50, 51), ne peuvent s’appliquer à ce cas sans beaucoup d’embarras. À l’égard des propositions suivantes (no 52 et suivans), il y a une grande différence entre les modules qui sont les puissances d’un nombre premier et ceux qui sont divisibles par plusieurs nombres premiers. Nous considérerons donc à part les modules du premier genre.
84. Si le module étant un nombre premier, on aura (no 38). Or si l’on applique à ce cas les recherches contenues (nos 53, 55), mutatis mutandis comme dans l’article précédent, on trouvera que tout ce qui y a été démontré aurait lieu également, s’il était prouvé que la congruence ne peut avoir plus de racines différentes. C’est d’une proposition plus générale (no 43) que nous avons déduit cette vérité pour un module premier : mais cette proposition n’a lieu que pour les modules premiers, et partant ne peut s’appliquer à ce cas. Nous allons donc la démontrer par une méthode particulière, et plus bas (sect. VIII) nous le prouverons encore plus facilement.
85. Nous nous proposons de démontrer ce théorème : Si le plus grand commun diviseur des nombres et est la congruence aura racines différentes.
Soit desorte que ne renferme point le facteur et qu’il divise parconséquent Alors la congruence suivant le module aura racines différentes, et si on les désigne par etc., une racine quelconque de cette même congruence, suivant le module , devra être congrue à quelqu’un des nombres etc., suivant le module Or nous démontrerons que la congruence a racines congrues à autant
