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ARITHMÉTIQUES.

mais on peut aussi démontrer facilement qu’une racine primitive quelconque peut s’exprimer par un produit de cette espèce et d’une seule façon^[1].

Il suit de là que ces produits peuvent être pris au lieu des racines primitives ; mais, comme dans ces produits il faut combiner toutes les valeurs de $A$ avec toutes celles de $B$, etc., la somme de tous ces produits sera égale au produit de la somme des valeurs de $A$, multipliée par la somme des valeurs de $B$, etc. Désignons toutes les valeurs de $A$, $B$, $C$, etc. par $A$, $A'$, $A''$, etc. $B$, $B'$, $B'',$ etc. $C$, $C'$, $C''$, etc. La somme de toutes les racines primitives sera congrue au produit $(A+A'+\ {\text{etc}}.)(B+B'+\ {\text{etc}}.)$ etc. ; or je dis que si $\alpha =1$, la somme $A+A'+A''+\ {\text{etc}}.$, sera $\equiv -1{\pmod {p}}$, que si $\alpha >1$, cette somme sera $\equiv 0$, et de même pour $\beta$, $\gamma$, etc. Si ces

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1. On déterminera des nombres $\alpha ',$ $\beta ',$ $\gamma ',$ etc. tels qu’on ait $\alpha '\equiv 1{\pmod {a^{\alpha }}}$ et $\equiv 0{\pmod {b^{\beta }c^{\gamma }\ {\text{etc}}.}}\,;$ $\beta '\equiv 1{\pmod {b}}{^{\beta }}$ et $\equiv 0{\pmod {a^{\alpha }c^{\gamma }\ {\text{etc}}.}},$ etc. (v. n^o 32) ; donc on aura $\alpha '+\beta '+\gamma '+{\text{etc}}.\equiv 1{\pmod {p-1}},$ (n^o 19). Or si l’on doit exprimer une racine primitive quelconque $r$ par un produit de la forme $ABC$ etc. ; on prendra $A\equiv r^{\alpha '},$ $B\equiv r^{\beta '},$ $C\equiv r^{\gamma '},$ etc. $A,$ $B,$ $C$ appartiendront respectivement aux exposans $a^{\alpha },$ $b^{\beta },$ $c^{\gamma },$ etc., et le produit $ABC,$ etc. sera $\equiv r{\pmod {p}}.$ Or il est facile de voir que $A,$ $B,$ $C,$ etc. ne peuvent se déterminer d’une autre manière ^(*).

   (*) Cette note nous semble avoir besoin de quelques éclaircissemens. Il est aisé de voir que tous les nombres, excepté $\alpha ',$ sont divisibles par $a^{\alpha }\,;$ que partant leur somme l’est aussi, ou est $\equiv 0{\pmod {a^{\alpha }}}\,;$ mais comme $\alpha '\equiv 1{\pmod {a^{\alpha }}},$ il vient donc $\alpha '+\beta '+\gamma '\ +\ {\text{etc}}.\equiv 1{\pmod {a^{\alpha }}},$ de même $\alpha '+\beta '+\gamma '\ +\ {\text{etc}}.\equiv 1{\pmod {b^{\beta }}},$ etc. ; donc $\alpha '+\beta '+\gamma '\ +\ {\text{etc}}.\equiv 1{\pmod {a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma },\ {\text{etc}}.}}.$ Or si l’on fait $A=r^{\alpha '}$, $B=r^{\beta '}$, $C=r^{\gamma '},$ etc., $A$, $B,$ $C,$ etc., appartiendront aux exposans $a^{\alpha },$ $b^{\beta },$ $c^{\gamma }$ etc. respectivement. En effet $A^{a^{\alpha }}\equiv r^{\alpha 'a^{\alpha }}\equiv 1{\pmod {p}},$ $\alpha 'a^{\alpha }$ étant $\equiv 0{\pmod {p-1}}\,;$ et il est visible que l’on ne peut supposer $A^{t}\equiv 1{\pmod {p}},$ $t$ étant $<a^{\alpha }$, et de même pour $B,$ $C$, etc., car on aurait $\alpha 't\equiv 0{\pmod {p-1}},$ ce qui ne peut avoir lieu à moins que $t$ ne soit $=a^{\alpha }$ ou $\equiv 0{\pmod {a^{\alpha }}}.$ Or il est aisé de s’assurer encore qu’on ne peut trouver de nombres $A',$ $B',$ $C',$ etc. respectivement incongrus à $A$, $B,$ $C,$ etc., et qui puissent les remplacer. En effet on aurait $A'{\pmod {r^{\alpha ''}}},$ $\alpha ''$ étant un nombre déterminé comme $\alpha '\,;$ mais on a aussi $A{\pmod {r^{\alpha '}}}\,;$ or comme $\alpha '$ et $\alpha ''$ sont congrus au même nombre suivant le module $p-1,$ ils sont congrus entr’eux suivant ce même module ; donc $r^{\alpha '}\equiv r^{\alpha ''}{\pmod {p}},$ et partant $A\equiv A'.$ (Note du traducteur.)