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RECHERCHES

Or l’indice du produit de tous les termes sera

$\equiv (1+2+3+{\text{etc.}}+t-1){\frac {p-1}{t}}={\frac {(t-1)(p-1)}{2}}\ ;$

donc il sera $\equiv 0{\pmod {p-1}}$, quand $t$ est impair ; et $\equiv {\frac {p-1}{2}}$, quand $t$ est pair. Dans le premier cas, le produit est $\equiv 1{\pmod {p}}$ ; dans le second, $\equiv -1{\pmod {p}}$.

76. Si le nombre du théorème précédent est une racine primitive, sa période comprendra tous les nombres $1$, $2$, $3$, $4$,… $p-1$, dont le produit sera parconséquent toujours $\equiv -1$ ; car $p-1$ est toujours pair, excepté dans le cas où $p=2$, et alors on a indifféremment $+1$ ou $-1$. Ce théorème élégant qu’on énonce ordinairement de cette manière : Le produit de tous les nombres plus petits qu’un nombre premier étant augmenté de l’unité, est divisible par ce nombre premier, a été publié par Waring qui l’attribue à Wilson (Meditationes Algeb. Ed. 3, p. 380) ; mais aucun des deux n’a pu le démontrer, et Waring avoue que la démonstration lui en semble d’autant plus difficile qu’il n’y a point de notation par laquelle on puisse exprimer un nombre premier ; pour nous, nous pensons que la démonstration de cette sorte de vérités doit être puisée dans les principes plutôt que dans la notation. Lagrange en a depuis donné une démonstration (Nouv. Mém. de l’Ac. de Berlin, 1771), dans laquelle il s’appuie sur la considération des coefficiens que l’on trouve en développant le produit

$(x+1)(x+2)(x+3)\ldots (x+p-1)\ :$

et il fait voir qu’en supposant ce produit

$=x^{p-1}+x^{p-2}+x^{p-3}\ +\ {\text{etc.}}\ +\ Mx+N,$

les coefficiens $A$, $B$, etc. $M$ sont divisibles par $p$ ; or

$N=1.2.3\ldots p-1.$

Maintenant si $x=1$, le produit est divisible par $p$ ; mais alors il sera $\equiv 1+N{\pmod {p}}$, donc $1+N$ est divisible par $p$.

Enfin Euler (Opusc. analyt. T. i, p. 529) en a donné une démonstration qui rentre dans celle que nous venons d’exposer ; ainsi puisque de tels hommes n’ont pas cru ce sujet indigne de leurs

méditations