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RECHERCHES
71. On démontre facilement que l’on peut toujours trouver
une base telle, qu’un nombre appartenant à l’exposant
ait un indice donné à volonté. Le plus grand commun diviseur de cet indice
et de
étant
désignons par
ce diviseur, et soit l’indice
proposé
soit
l’indice du nombre donné quand on prend
pour base la racine primitive quelconque
on aura
et
premiers avec
ou
Or si
est une valeur de l’expression
et en même temps premier avec
sera la racine
primitive cherchée, car on aura
au nombre proposé
Il nous reste à prouver que l’expression
peut
admettre des valeurs premières avec
elle équivaut à
ou
(no 31, 2o) et toutes les valeurs en seront
premières avec
car si une valeur
avait un diviseur commun avec
ce diviseur devrait aussi diviser
et partant diviser
qui est congru
à
suivant le module
, ce qui est contre l’hypothèse suivant
laquelle
est premier avec
Ainsi, quand tous les diviseurs premiers de
divisent aussi
toutes les valeurs de l’expression
sont premières avec
et leur nombre est
mais
quand
renferme encore d’autres facteurs premiers
etc.
qui ne divisent pas
soit
une valeur de
comme
etc. sont premiers entre eux, on peut trouver un nombre
congru à
suivant le module
et congru, suivant
etc., à des
nombres quelconques premiers avec ceux-ci (no 32). Ce nombre
ne sera divisible par aucun facteur de
et partant sera premier avec lui, comme il est nécessaire. On pourrait démontrer
sans peine par la théorie des combinaisons, que le nombre de ces
valeurs est
etc. ; mais nous omettons cette
démonstration qui ne peut nous être d’aucune utilité.
72. Quoiqu’en général on puisse prendre arbitrairement pour
base une racine primitive quelconque, certains avantages parti-