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RECHERCHES
71. On démontre facilement que l’on peut toujours trouver
une base telle, qu’un nombre appartenant à l’exposant ait un indice donné à volonté. Le plus grand commun diviseur de cet indice
et de étant désignons par ce diviseur, et soit l’indice
proposé soit l’indice du nombre donné quand on prend
pour base la racine primitive quelconque on aura et premiers avec ou Or si est une valeur de l’expression et en même temps premier avec sera la racine
primitive cherchée, car on aura au nombre proposé Il nous reste à prouver que l’expression peut
admettre des valeurs premières avec elle équivaut à
ou (no 31, 2o) et toutes les valeurs en seront
premières avec car si une valeur avait un diviseur commun avec
ce diviseur devrait aussi diviser et partant diviser qui est congru
à suivant le module , ce qui est contre l’hypothèse suivant
laquelle est premier avec Ainsi, quand tous les diviseurs premiers de divisent aussi toutes les valeurs de l’expression
sont premières avec et leur nombre est mais
quand renferme encore d’autres facteurs premiers etc.
qui ne divisent pas soit une valeur de comme
etc. sont premiers entre eux, on peut trouver un nombre
congru à suivant le module et congru, suivant etc., à des
nombres quelconques premiers avec ceux-ci (no 32). Ce nombre
ne sera divisible par aucun facteur de et partant sera premier avec lui, comme il est nécessaire. On pourrait démontrer
sans peine par la théorie des combinaisons, que le nombre de ces
valeurs est etc. ; mais nous omettons cette
démonstration qui ne peut nous être d’aucune utilité.
72. Quoiqu’en général on puisse prendre arbitrairement pour
base une racine primitive quelconque, certains avantages parti-