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ARITHMÉTIQUES

donc $a^{\alpha \beta }$ $\equiv b^{\alpha }\equiv a$ ${\pmod {p}}$ d’où $\alpha \beta \equiv 1{\pmod {p-1}}.$ On trouvera de même $\nu \equiv \alpha \mu ,\ \mu \equiv \beta \nu {\pmod {p-1}}.$ Si donc on a une table d’indices construite pour la base $a,$ on pourra facilement la changer en une autre dont la base est $b.$ En effet, si $\operatorname {Ind.} \ b\equiv \beta$ pour la base $a,\ \operatorname {Ind.} a$ sera $\equiv \ {\frac {1}{\beta }}{\pmod {p-1}}$ pour la base $b,$ et multipliant par ce nombre tous les indices de la table, on aura tous les indices pour la base $b.$

70. Mais quoiqu’un nombre donné puisse avoir plusieurs indices, en prenant pour base différentes racines primitives, tous ces indices auront cette propriété commune, que leur plus grand commun diviseur avec $p-1$ sera le même. En effet, $A$ étant un nombre donné, si $\operatorname {Ind.} A\equiv m$ pour la base $a$ et $\operatorname {Ind.} A\equiv n$ pour la base $b$ , et si leurs plus grands communs diviseurs $\mu$ et $\nu$ avec $p-1$ sont supposés inégaux ; soit $\mu >\nu$ , $\mu$ ne divisera pas $n$ ; mais si $\operatorname {Ind.} a\equiv \alpha$ pour la base $b$ on aura (art. précéd.) $n\equiv \alpha m{\pmod {p-1}}$ , et partant $\mu$ divisera aussi $n$ .

On peut encore s’assurer que ce diviseur commun des indices d’un nombre donné et de $p-1$ , est indépendant de la base en observant qu’il est égal à ${\frac {p-1}{t}}$ , $t$ étant l’exposant auquel appartient le nombre dont il s’agit. En effet, si l’indice est $k$ pour une base quelconque, $t$ sera le plus petit nombre (zéro excepté), qui multiplié par $k$ , donne un produit divisible par $p-1$ , ou la plus petite valeur de l’expression ${\frac {0}{k}}{\pmod {p-1}}$ ; mais on déduit sans peine du n^o 29 que cette valeur est égale au plus grand commun diviseur des nombres et $p-1$ .^[1]

↑ La dernière phrase de l’auteur ne me semble point prouver ce qu’il a avancé ; il s’y est sans doute glissé quelques fautes d'impression qui lui ont échappé. Au reste je crois que l’on peut y suppléer de la manière suivante :
Puisque $t$ est le plus petit nombre qui rende $kt$ divisible par $p-1$ , ce sera aussi celui qui rendra ${\frac {kt}{d}}$ divisible par ${\frac {p-1}{d}}$ , $d$ étant le plus grand commun diviseur entre $k$ et $p-1$ . Or ${\frac {k}{d}}$ et ${\frac {p-1}{d}}$ étant premiers entre eux, la plus petite valeur de $t$ convenable est ${\frac {p-1}{d}}$ ; donc ${\frac {p-1}{d}}=t$ et $d={\frac {p-1}{t}}$ (Note du traducteur.

[1] La dernière phrase de l’auteur ne me semble point prouver ce qu’il a avancé ; il s’y est sans doute glissé quelques fautes d'impression qui lui ont échappé. Au reste je crois que l’on peut y suppléer de la manière suivante :
Puisque $t$ est le plus petit nombre qui rende $kt$ divisible par $p-1$ , ce sera aussi celui qui rendra ${\frac {kt}{d}}$ divisible par ${\frac {p-1}{d}}$ , $d$ étant le plus grand commun diviseur entre $k$ et $p-1$ . Or ${\frac {k}{d}}$ et ${\frac {p-1}{d}}$ étant premiers entre eux, la plus petite valeur de $t$ convenable est ${\frac {p-1}{d}}$ ; donc ${\frac {p-1}{d}}=t$ et $d={\frac {p-1}{t}}$ (Note du traducteur.

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