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ARITHMÉTIQUES
donc
d’où
On trouvera de même
Si donc on a une table d’indices construite pour la base
on pourra facilement la changer en une autre
dont la base est
En effet, si
pour la base
sera
pour la base
et multipliant par ce nombre
tous les indices de la table, on aura tous les indices pour la base
70. Mais quoiqu’un nombre donné puisse avoir plusieurs indices,
en prenant pour base différentes racines primitives, tous ces indices
auront cette propriété commune, que leur plus grand commun diviseur avec
sera le même. En effet,
étant un nombre donné,
si
pour la base
et
pour la base
, et si
leurs plus grands communs diviseurs
et
avec
sont supposés inégaux ; soit
,
ne divisera pas
; mais si
pour la base
on aura (art. précéd.)
,
et partant
divisera aussi
.
On peut encore s’assurer que ce diviseur commun des indices
d’un nombre donné et de
, est indépendant de la base en
observant qu’il est égal à
,
étant l’exposant auquel appartient le nombre dont il s’agit. En effet, si l’indice est
pour une
base quelconque,
sera le plus petit nombre (zéro excepté), qui
multiplié par
, donne un produit divisible par
, ou la plus petite
valeur de l’expression
; mais on déduit sans peine
du no 29 que cette valeur est égale au plus grand commun diviseur des nombres
et
.[1]
- ↑ La dernière phrase de l’auteur ne me semble point prouver ce qu’il a avancé ;
il s’y est sans doute glissé quelques fautes d'impression qui lui ont échappé. Au
reste je crois que l’on peut y suppléer de la manière suivante :
Puisque
est le plus petit nombre qui rende
divisible par
, ce sera aussi
celui qui rendra
divisible par
,
étant le plus grand commun diviseur
entre
et
. Or
et
étant premiers entre eux, la plus petite valeur
de
convenable est
; donc
et
(Note du traducteur.