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RECHERCHES

donne $k\equiv 3$. Donc $z\equiv 31^{3}{\pmod {37}}$ ; l’on trouve effectivevement $6^{3}\equiv 31{\pmod {37}}$. Si les valeurs de ${\sqrt[{3}]{1}}{\pmod {37}}$ étaient connues, on pourrait aussi déterminer les autres valeurs de ${\sqrt[{3}]{31}}$ : or les valeurs de ${\sqrt[{3}]{1}}{\pmod {37}}$ sont $1$, $10$, $26$ ; donc celles de ${\sqrt[{3}]{31}}$ seront $6$, $23$, $8$.

Soit maintenant ${\sqrt[{2}]{3}}{\pmod {37}}$ ; on aura $p-1=36$, $n=2$, ${\frac {p-1}{n}}=18$, et partant $q=2$ ; donc on doit avoir $2k\equiv 1{\pmod {9}}$, d’où $k\equiv 5$ ; donc $z\equiv 3^{5}\equiv 21{\pmod {37}}$ ; mais $21^{2}$ n’est pas congru avec $3$, mais avec $34$ ; or on a ${\frac {3}{34}}\equiv {\pmod {37}}\equiv -1$ et ${\sqrt[{2}]{-1}}{\pmod {37}}\equiv \pm 6$ ; d’où l’on tire les vraies valeurs $\pm 6.21\equiv \pm 15.$

Voilà à-peu-près tout ce que nous pouvions exposer ici sur la résolution de ces expressions. Il est clair que les méthodes directes deviennent souvent assez longues ; mais cet inconvénient a lieu dans presque toutes les méthodes directes de la théorie des nombres : Aussi nous n’avons pas cru devoir négliger de faire voir ce qu’on peut en attendre. Il convient aussi d’observer que les artifices particuliers qui se présentent à un homme exercé, n’entrent pas dans notre plan.

69. Revenons maintenant aux racines que nous avons appelées primitives. Nous avons fait voir que, si l’on prenait pour base une racine primitive quelconque, tous les nombres dont les indices sont premiers avec $p-1$, étaient aussi des racines primitives, et qu’il n’y en aurait pas d’autres, d’où nous avons conclu le nombre de ces racines (n^o 53) : et comme le choix de celle que l’on prend pour base est en général arbitraire, on voit qu’ici, comme dans les logarithmes, on peut avoir plusieurs systèmes^[1]. Cherchons les relations qui les lient entr’eux. Soient $a$ et $b$ deux racines primitives, et $m$ un autre nombre. Soit de plus $\operatorname {Ind.} b=\beta$, quand $a$ est pris pour base, $\operatorname {Ind.} m\equiv \mu {\pmod {p-1}}$. Soit au contraire $\operatorname {Ind.} a\equiv \alpha$, $\operatorname {Ind.} m\equiv \nu {\pmod {p-1}}$ dans l’hypothèse où l’on prend $b$ pour base ; on aura $a^{\beta }\equiv b$,

1. Mais ils diffèrent en cela, que dans les logarithmes le nombre des systèmes est infini, et qu’il est ici égal au nombre des racines primitives, car les bases congrues produisent évidemment les mêmes systèmes.