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ARITHMÉTIQUES

seur de $t$ et de $q,$ ${\frac {A}{z^{n}}}{\pmod {p}}$ appartiendra à l’exposant $d,$ ce qui se démontre ainsi : puisque $z\equiv A^{n},$ il vient ${\frac {A}{z^{n}}}.A^{kn-1}\equiv 1{\pmod {p}}\,;$ mais $kn-1$ est divisible par ${\frac {p-1}{nq}}$ (n^o préc.), l’est par $t,$ ou ${\frac {p-1}{nd}}$ par ${\frac {t}{d}}$ D’ailleurs ${\frac {t}{d}}$ est premier avec ${\frac {q}{d}}\,;$ donc aussi ${\frac {p-1}{nd}}$ est divisible par ${\frac {tq}{d}},$ ou ${\frac {p-1}{nq}}$ par ${\frac {t}{d}}$ et partant $kn-1$ par ${\frac {t}{d}},$ ou $(kn-1)d$ par $t.$ Donc $A^{(kn-1)d}\equiv 1{\pmod {p}}\,;$ d’où l’on déduit facilement que ${\frac {A}{z^{n}}}$ élevé à la puissance $d$ est congru à l’unité. Il serait facile de démontrer que ${\frac {A}{z^{n}}}$ ne peut pas appartenir à un exposant plus petit que $d$ mais comme cette démonstration ne peut nous être utile, nous ne nous y arrêterons pas. Nous sommes donc certains que ${\frac {A}{z^{n}}}{\pmod {p}}$ appartient toujours à un plus petit exposant que $A,$ excepté dans le cas unique où l’on aurait $d=t.$

Mais à quoi sert que ${\frac {A}{z^{n}}}$ appartienne à un plus petit exposant que $A\,?$ Il y a plus de nombres qui peuvent être $A$ qu’il n’y en a qui peuvent être ${\frac {A}{z^{n}}},$ et quand on a occasion de résoudre plusieurs expressions de la forme ${\sqrt[{n}]{A}},$ suivant le même module, on y gagne de pouvoir tirer d’une même source la solution de plusieurs. Ainsi, par exemple, on déterminera au moins une valeur de ${\sqrt[{n}]{A}}{\pmod {29}},$ si l’on connaît seulement les valeurs de ${\sqrt[{2}]{-1}}{\pmod {29}},$ qui sont $\pm 12\,;$ en effet l’on voit sans peine, par les articles précédens, que l’on déterminera d’une manière directe une valeur quand $t$ est impair, et que $d$ sera $=2$ quand $t$ est pair ; or il n’y a que $-1$ qui appartienne à l’exposant $2.$

Exemples.

Soit ${\sqrt[{3}]{31}}{\pmod {37}}\,;$ on a $p-1=36,$ $n=3,$ ${\frac {p-1}{n}}=12,$ et partant $q=3\,;$ il faut donc qu’on ait $3k\equiv 1{\pmod {4}},$ ce qui

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