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ARITHMÉTIQUES

qu’en effet, si $zr^{k}$ est un des nombres de la suite, comme $r^{k}\equiv 1$ et que $z^{n}\equiv A$, on aura $r^{nk}\equiv 1$ et partant $z^{n}r^{nk}=(zr^{k})^{n}\equiv A$. Il est aisé de juger que toutes ces valeurs sont différentes (n^o 23) ; donc l’expression ${\sqrt[{n}]{A}}$ ne peut avoir d’autres valeurs, puisqu’elle ne peut en avoir plus de $n$. Par exemple, si une valeur de ${\sqrt[{2}]{A}}$ est $z$, l’autre sera $-z$. On doit conclure de ce qui précède, que l’on ne peut trouver toutes les valeurs de ${\sqrt[{n}]{A}}$, à moins qu’on ne puisse avoir toutes celles de ${\sqrt[{n}]{1}}$.

66. La seconde recherche que nous nous étions proposée, consiste à déterminer le cas où l’on peut trouver directement une valeur de l’expression ${\sqrt[{n}]{A}}{\pmod {p}}$, dans laquelle $n$ est diviseur de $p-1$. Cela arrive quand il y a une valeur congrue à une puissance de $A$, et comme ce cas est très-fréquent, il ne sera pas déplacé de s’y arrêter un instant. Soit $z$ cette valeur, si elle existe, on aura $z\equiv A^{k}$ et $z^{n}\equiv A{\pmod {p}}$ ; donc $A\equiv A^{kn}\ ;$ et si l’on peut déterminer $k$ de manière que cette condition soit remplie, $A^{k}$ sera la valeur cherchée ; mais la condition précédente revient à celle-ci $kn\equiv 1{\pmod {t}}$, $t$ étant l’exposant auquel $A$ appartient. Or pour que cette congruence soit possible, il faut que $n$ soit premier avec $t$, et dans ce cas on aura $k={\frac {1}{n}}{\pmod {t}}$ ; si au contraire $t$ et $n$ ont un diviseur commun, aucune valeur de $z$ ne sera congrue à une puissance de $A$.

67. Mais comme il est nécessaire pour cette solution de connaître $t$, voyons comment il faut procéder quand on ne le connaît pas. On voit d’abord facilement que $t$ doit être diviseur de ${\frac {p-1}{n}}$, lorsque ${\sqrt[{n}]{A}}{\pmod {p}}$ a des valeurs réelles, ce que nous supposons ici. Soit en effet $y$ l’une quelconque de ces valeurs, on aura (n^o 50) $y^{p-1}\equiv 1$, et $y^{n}\equiv A{\pmod {p}}$ ; en élevant à la puissance ${\frac {p-1}{n}}$ les deux membres de la congruence $y^{n}\equiv A$, on aura $y^{p-1}\equiv A^{\frac {p-1}{n}}\equiv 1\ ;$ d’ailleurs $A^{t}\equiv 1$ ; donc ${\frac {p-1}{n}}\equiv 0{\pmod {t}}$ (n^o 48). Or si ${\frac {p-1}{n}}$ est