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RECHERCHES
que celles où
est diviseur du module diminué de l’unité.
Mais nous ferons voir plus bas que les congruences de cette forme
peuvent encore s’abaisser davantage, quoique ce qui précède ne
suffise pas pour cela. Il y a cependant un cas que nous pouvons
traiter ici à fond, celui où
Il est évident en effet que les valeurs
de l’expression
seront
et
puisqu’elle n’en peut
avoir plus de deux, et que
et
sont incongrus, à moins
que le module ne soit
, cas auquel il est clair que
n’aurait
qu’une seule valeur. Il suit de là que
et
sont aussi les valeurs
de l’expression
quand
est premier avec
ce qui
arrivera toujours lorsque le module sera tel que
soit un
nombre absolument premier ; par exemple, quand
etc., à moins que
cas auquel tous les nombres
sont racines. Remarquons, comme conséquence,
que l’indice de
est toujours
quelle que
soit la racine primitive que l’on prenne pour base ; car
donc
sera
ou
mais
est toujours l’indice de
et
et
doivent avoir
des indices différens, excepté dans le cas où
qu’il n’est pas
nécessaire de considérer.
63. Nous avons fait voir (no 61) que l’expression
a
valeurs différentes ou n’en a absolument aucune, si
est le plus grand
commun diviseur des nombres
et
Or de même que nous avons trouvé que
et
étaient équivalentes quand on a
nous
prouverons plus généralement que l’expression
peut toujours
être ramenée à une autre
à laquelle elle est équivalente. Soit
en effet
et
une valeur quelconque de l’expression
qui aura toujours (no 31) des valeurs réelles. De
la congruence
on déduit
mais à cause de
donc
Ainsi une valeur quelconque