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ARITHMÉTIQUES
61. Quoique cette méthode soit très-expéditive, quand on a les
tables nécessaires, nous ne devons cependant pas oublier qu’elle est
indirecte ; il sera donc utile de chercher ce que peuvent donner les
méthodes directes. Nous allons exposer ici les observations que l’on
peut déduire des notions précédentes ; quant à ce qui exige des considérations plus profondes, nous le réserverons pour la section VIII.
Nous commencerons par le cas le plus simple ; celui où , c’est-à-dire, dans lequel on cherche les racines de la congruence . En prenant pour base une racine primitive quelconque,
on doit avoir . Quand est premier avec
, cette congruence n’aura qu’une seule racine, savoir
; donc, dans ce cas n’aura
qu’une valeur ; mais quand et ont pour
plus grand diviseur commun, la solution complète de la congruence sera (no 30),
c’est-à-dire, que devra être congru suivant le module à
quelqu’un des nombres , , , … ou qu’il
aura valeurs incongrues suivant le module ; donc aussi,
dans ce cas, aura valeurs incongrues suivant . On voit que l’expression a aussi valeurs dont les indices sont
absolument les mêmes que les précédens ; donc l’expression est tout-à-fait équivalente à l’expression ,
ou ce qui revient au même, la congruence et
la congruence ont les mêmes racines ; mais la
première est d’un degré inférieur à moins qu’on n’ait .
Ex. a trois valeurs, parceque est le plus grand
commun diviseur de et ; elles seront également celles de l’expression 1 . Ces valeurs sont , , .
62. Cette réduction nous offre un grand avantage, puisqu’on n’a plus
besoin de résoudre parmi les congruences de la forme