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ARITHMÉTIQUES
61. Quoique cette méthode soit très-expéditive, quand on a les
tables nécessaires, nous ne devons cependant pas oublier qu’elle est
indirecte ; il sera donc utile de chercher ce que peuvent donner les
méthodes directes. Nous allons exposer ici les observations que l’on
peut déduire des notions précédentes ; quant à ce qui exige des considérations plus profondes, nous le réserverons pour la section VIII.
Nous commencerons par le cas le plus simple ; celui où
, c’est-à-dire, dans lequel on cherche les racines de la congruence
. En prenant pour base une racine primitive quelconque,
on doit avoir
. Quand
est premier avec
, cette congruence n’aura qu’une seule racine, savoir
; donc, dans ce cas
n’aura
qu’une valeur
; mais quand
et
ont
pour
plus grand diviseur commun, la solution complète de la congruence
sera
(no 30),
c’est-à-dire, que
devra être congru suivant le module
à
quelqu’un des nombres
,
,
, …
ou qu’il
aura
valeurs incongrues suivant le module
; donc aussi,
dans ce cas,
aura
valeurs incongrues suivant
. On voit que l’expression
a aussi
valeurs dont les indices sont
absolument les mêmes que les précédens ; donc l’expression
est tout-à-fait équivalente à l’expression
,
ou ce qui revient au même, la congruence
et
la congruence
ont les mêmes racines ; mais la
première est d’un degré inférieur à moins qu’on n’ait
.
Ex.
a trois valeurs, parceque
est le plus grand
commun diviseur de
et
; elles seront également celles de l’expression 1
. Ces valeurs sont
,
,
.
62. Cette réduction nous offre un grand avantage, puisqu’on n’a plus
besoin de résoudre parmi les congruences de la forme