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ARITHMÉTIQUES

des nombres premiers $a,$ $b$, $c$, etc., ou du moins qu’il sera divisible par quelqu’un d’eux (n^o 17), par $a,$ par exemple, car le raisonnement est le même pour les autres. $t$ divisera ainsi ${\frac {p-1}{a}}$ ; donc le produit $ABC\ {\text{etc}}.$ serait encore congru à l’unité, en l’élevant à la puissance ${\frac {p-1}{a}}$ (n^o 46). Mais il est évident que tous les nombres, $B,\ C,\ D,{\text{etc}}.$ (excepté $A$) deviennent congrus à l’unité, si on les élève à la puissance ${\frac {p-1}{a}},$ puisque les exposants $b^{\beta },c^{\gamma },\ etc.$ auxquels ils appartiennent divisent ${\frac {p-1}{a}}$. Donc $A^{\frac {p-1}{a}}.B^{\frac {p-1}{a}}.C^{\frac {p-1}{a}}.\ {\text{etc}}.\equiv A^{\frac {p-1}{a}}\equiv 1\ ;$ donc $a^{\alpha }$ doit diviser ${\frac {p-1}{a}}$ (n^o 48), c’est-à-dire que ${\frac {p-1}{a^{\alpha +1}}}$ doit être entier, ce qui est absurde (n^o 15). Donc enfin notre supposition ne peut subsister, c’est-à-dire que le produit $ABC\ {\text{etc}}.$ appartient réellement à l’exposant $p-1.$

La dernière démonstration semble un peu plus longue que la première, mais elle est plus directe.

56. Ce théorème nous fournit un exemple remarquable de la circonspection dont on a besoin dans la théorie des nombres, pour ne pas regarder comme démontrées des choses qui ne le sont pas. Lambert, dans la Dissertation que nous avons citée plus haut, fait mention de cette proposition, mais ne dit pas un mot de la nécessité de la démontrer. Personne même n’a tenté de le faire, excepté Euler (Comm. nov. Ac. Pétrop. T. XVIII, p. 85), dans son Mémoire intitulé : Demonstrationes circa residua ex divisione potestatum per numeros primos resultantia. On peut voir surtout l’art. 37, dans lequel il a parlé avec étendue de la nécessité de démontrer cette proposition. Cependant la démonstration de cet homme pénétrant présente deux défauts ; l’un tient à ce qu’il suppose tacitement, art. 31 et suivants, que la congruence $x^{n}\equiv 1,$ (en ramenant ses raisonnemens à notre notation) a réellement n racines différentes, tandis qu’il était seulement démontré que cette congruence ne peut en avoir davantage ; l’autre, à ce qu’il ne déduit que par induction la formule du n^o 34.