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RECHERCHES

On décomposera $p-1$ en facteurs premiers, de manière qu’on ait $p-1=a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }$ etc. $a$ , $b$ , $c$ , etc. étant des nombres premiers inégaux. Alors nous composerons la démonstration des deux propositions suivantes :

1^o . On peut toujours trouver un nombre $A$ , ou plusieurs appartenans à l’exposant $a^{\alpha }$ , et de même des nombres $B$ , $C$ , etc. appartenant aux exposans $b^{\beta }$ , $c^{\gamma }$ , etc.

2^o . Le produit des nombres $A$ , $B$ , $C$ , etc. ou le résidu minimum de ce produit appartiendra à l’exposant $p-1$ ; ce qui se démontre ainsi qu’il suit.

1^o . Soit $g$ un des nombres $1$ , $2$ , $3$ … $p-1$ qui ne satisfasse pas à la congruence $x^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}}$ ; car tous les nombres ne peuvent pas satisfaire à cette congruence, dont le degré est $<p-1$ . Alors je dis que si l’on fait $g^{\frac {p-1}{\alpha }}\equiv h$ , $h$ ou son résidu minimum appartiendra à l’exposant $a^{\alpha }$ .

En effet il est évident que $h^{a^{\alpha }}\equiv g^{p-1}\equiv 1$ ; mais $h^{a^{\alpha -1}}\equiv g^{\frac {p-1}{\alpha }}$ , et parconséquent sera incongru à l’unité, et à plus forte raison les puissances $h^{a^{\alpha -2}}$ , $h^{a^{\alpha -3}}$ le seront aussi. Or l’exposant de la plus petite puissance de $h$ congrue à l’unité, c’est-à-dire l’exposant auquel $h$ appartient, doit être un diviseur de $a^{\alpha }$ (n^o 48) ; et comme $a^{\alpha }$ n’est divisible que par lui-même, ou par les puissances inférieures de $a$ , il s’ensuit nécessairement que $a^{\alpha }$ sera l’exposant auquel $b$ appartient. On démontrera de la même manière, qu’on peut trouver des nombres appartenans aux exposans $b^{\beta }$ , $c^{\gamma }$ , etc.

2^o . Si nous supposons que le produit de tous les nombres $A$ , $B$ , $C$ , etc. n’appartienne pas à l’exposant $p-1$ , etc., mais à un exposant $t$ plus petit, $t$ devra être un des diviseurs de $p-1$ (n^o 48), ou ${\frac {p-1}{t}}$ sera un entier $>1$ . Il suit de là que ce quotient sera un