Lambert en a donné une semblable, (Acta eruditorum. 1769, p. 109.). Mais comme le développement de la puissance d’un binôme semble étranger à la théorie des nombres, Euler (Comm. nov. Petrop. T. VIII, p. 70.) donna une autre démonstration qui est conforme à celle que nous venons d’exposer. Dans la suite il s’en présentera encore d’autres : ici nous nous contenterons d’en donner encore une déduite du même principe que celle d’Euler. La proposition suivante, dont le théorême en question n’est qu’un cas particulier, nous sera utile pour d’autres recherches.
51. Si est un nombre premier, la puissance du polynôme etc. est etc. suivant le module
On sait que est composé de termes de la
forme etc. où l’on a étant le
nombre de permutations de choses, dont etc. sont
respectivement égales à etc. Mais nous avons fait voir
(no 41) que ce nombre était toujours divisible par , à moins
que toutes les lettres ne fussent égales entr’elles ; c’est-à-dire, à
moins que l’un des nombres etc. ne fût égal et les autres
égaux à zéro ; d’où il suit que tous les termes du développement,
excepté etc. sont divisibles par et que parconséquent
Si toutes les quantités , , , etc. sont supposées et que leur nombre soit on aura comme dans le no précédent.
52. Comme les nombres qui sont diviseurs de sont les seuls qui puissent servir d’exposans aux plus petites puissances congrues avec l’unité, on est porté à chercher si tous les diviseurs de jouissent de cette propriété ; et, quand on classe tous les nombres non divisibles par p suivant l’exposant de leur plus petite puissance congrue à l’unité, combien il y en a pour chaque exposant. Nous observerons d’abord qu’il suffit de considérer les nombres positifs depuis jusqu’à il est évident en effet que les nombres congrus doivent être élevés à la même puissance pour devenir congrus à l’unité, et que parconséquent un nombre quelconque doit être rapporté au même exposant que son résidu minimum
