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ARITHMÉTIQUES
1o. Rassemblons les résidus minima positifs de tous les termes,
![{\displaystyle a^{3},\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0268075ca672b84d43450aa17d1d12b09aea468a)
et désignons-les par
etc. desorte qu’on
ait
etc. Il est visible qu’ils seront tous différens ; car si deux termes
donnaient les mêmes résidus, on
aurait
(en supposant
et
ce qui est
absurde, puisque
est la plus petite puissance de
congrue à
l’unité. Au reste tous les nombres
etc., sont compris
dans la série
série qu’ils n’épuisent pas
lorsque
Nous désignerons par
la somme de tous ces
résidus, et
comprendra un nombre
de termes.
2o. Prenons un nombre quelconque
parmi ceux de la série
qui manquent dans
Multiplions
par
etc. et nommons
etc. les résidus minima qui
en proviendront, et qui seront aussi en nombre
. Ces résidus seront
différens entr’eux , et différeront des nombres
etc. En effet,
si la première assertion était fausse, on aurait
d’où l’on tire,
en divisant par
ce qui est contre ce que nous venons
de démontrer : si la dernière l’était, on aurait
d’où
quand
c’est-à-dire que
serait congru à quelqu’un des nombres
etc. : ce qui est contre l’hypothèse ; mais
si
on aura, en multipliant par
ou, comme
d’où résulte la même absurdité. Désignons
par
la somme des nombres
etc. qui sont en nombre
on aura déjà
nombres parmi ceux-ci
…
Donc
si
et
) épuisent cette série, on aura
3o. Mais s’il en manque quelques-uns, soit
un de ceux-là.
Multiplions
etc. par
et soient
etc. les résidus minima de ces produits, dont nous désignerons l’ensemble
par
comprendra
nombres pris dans la série
…
qui seront tous différens entr’eux et non-compris dans
et
. Les deux premières assertions se démontrent comme ci-dessus (2o) ; quant à la troisième, si l’on avait
on en
tirerait
ou
, suivant que
ou
Dans l’un ou l’autre cas
serait congru à quelqu’un des nombres qui
composent
ce qui serait contre l’hypothèse. On aura ainsi
E