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RECHERCHES

recommencera. On aura ainsi une période de $t$ résidus qui se répétera continuellement, et l’on ne pourra trouver un seul résidu qui ne fasse partie de cette période. On aura en général $a^{mt}\equiv 1$ et $a^{m+n}\equiv a^{n}$ ; ce qui peut se présenter ainsi suivant notre notation : si $r\equiv \rho {\pmod {t}}$ , on aura $a^{r}\equiv a^{\rho }{\pmod {p}}$ .

47. Ce théorème fournit le moyen de trouver facilement les résidus des puissances, quelle que soit la grandeur de l’exposant dont elles sont affectées, en même temps qu’on découvrira la puissance congrue à l’unité. Si, par exemple, on demande le reste de la division de $3^{1000}$ par $13$ , comme $3^{3}\equiv 1{\pmod {13}}$ , on a $t\equiv 3$ , et comme d’ailleurs $1000\equiv 1{\pmod {3}}$ , on trouvera $3^{1000}\equiv 3{\pmod {13}}$ .

48. Si $a^{t}$ est la plus petite puissance congrue à l’unité, (en exceptant $a^{0}=1$ , cas que nous ne considérons pas), les $t$ restes qui composent la période seront tous différens, comme on le voit sans difficulté par la démonstration du n^o 45. Alors la proposition du n^o 46 peut être renversée. Savoir, si $a^{m}\equiv a^{n}{\pmod {p}}$ , on aura $m\equiv n{\pmod {t}}$ : car si $m$ et $n$ étaient incongrus suivant $t$ , leurs résidus minima $\mu$ et $\nu$ seraient différens. Mais $a^{\mu }\equiv a^{m}$ , $a^{\nu }\equiv a^{n}$ donc $a^{\mu }\equiv a^{\nu }$ , c’est-à-dire, que toutes les puissances au dessous de $a^{t}$ ne seraient pas incongrues, ce qui est contre l’hypothèse.

Si donc $a^{k}\equiv 1{\pmod {p}}$ , on aura $k\equiv 0{\pmod {t}}$ , c’est-à-dire que $k$ sera divisible par $t$ .

Nous avons parlé jusqu’ici de modules quelconques, pourvu qu’ils fussent premiers avec $a$ . À présent examinons à part les modules qui sont des nombres premiers absolus, et établissons sur ce fondement des recherches plus générales.

49. Théorème. Si $\mathrm {p}$ est un nombre premier qui ne divise pas $\mathrm {a} ,$ et que $\mathrm {a^{t}}$ soit la plus petite puissance de $\mathrm {a}$ congrue à l’unité, l’exposant $\mathrm {t}$ sera $=\mathrm {p-1} ,$ ou une partie aliquote de $\mathrm {p-1} .$

Voyez pour des exemples le n^o 45.

Comme nous avons déjà prouvé que $t$ est $=p-1$ ou $<p-1$ il reste à faire voir que dans le dernier cas il est toujours une partie aliquote de $p-1$ .

1^o