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RECHERCHES


recommencera. On aura ainsi une période de résidus qui se répétera continuellement, et l’on ne pourra trouver un seul résidu qui ne fasse partie de cette période. On aura en général et  ; ce qui peut se présenter ainsi suivant notre notation : si , on aura .

47. Ce théorème fournit le moyen de trouver facilement les résidus des puissances, quelle que soit la grandeur de l’exposant dont elles sont affectées, en même temps qu’on découvrira la puissance congrue à l’unité. Si, par exemple, on demande le reste de la division de par , comme , on a , et comme d’ailleurs , on trouvera .

48. Si est la plus petite puissance congrue à l’unité, (en exceptant , cas que nous ne considérons pas), les restes qui composent la période seront tous différens, comme on le voit sans difficulté par la démonstration du no 45. Alors la proposition du no 46 peut être renversée. Savoir, si , on aura  : car si et étaient incongrus suivant , leurs résidus minima et seraient différens. Mais , donc , c’est-à-dire, que toutes les puissances au dessous de ne seraient pas incongrues, ce qui est contre l’hypothèse.

Si donc , on aura , c’est-à-dire que sera divisible par .

Nous avons parlé jusqu’ici de modules quelconques, pourvu qu’ils fussent premiers avec . À présent examinons à part les modules qui sont des nombres premiers absolus, et établissons sur ce fondement des recherches plus générales.

49. Théorème. Si est un nombre premier qui ne divise pas et que soit la plus petite puissance de congrue à l’unité, l’exposant sera ou une partie aliquote de

Voyez pour des exemples le no 45.

Comme nous avons déjà prouvé que est ou il reste à faire voir que dans le dernier cas il est toujours une partie aliquote de .

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