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NOTES DU TRADUCTEUR.

La forme $\varphi$ se change en elle-même par la transformation impropre $t=t'+ku'$, $u=-u'$ ; ainsi : 1^o . $F$ se change en $F'$ par la transformation propre

$x$	$=(mm'+np')x'$	$+(mn'+nq')y',$
$y$	$=(pm'+qp')x'$	$+(pn'+qq')y',$

et partant, on aura

$mm'+np'$	$=\alpha ,$	——	$mn'+nq'$	$=\beta ,$
$pm'+qp'$	$=\gamma ,$		$pn'+qq'$	$=\delta$……(1)

2^o . $F$ se change en $F'$ par la transformation impropre

$x$	$=\left\{mm'+(mk-n)p'\right\}x'$	$+\left\{mn'+(mk-n)q'\right\}y',$
$y$	$=\left\{pm'+(pk-q)p'\right\}x'$	$+\left\{pn'+(pk-q)q'\right\}y',$

et l’on a parconséquent

$mm'+(mk-n)p'$	$=\alpha ',$	——	$mn'+(mk-n)q'$	$=\beta ',$
$pm'+(pk-q)p'$	$=\gamma ',$		$pn'+(pk-q)q'$	$=\delta ',$……(2)

Les équations (1) donnent par l’élimination, en faisant $mq-np=h$,

$m'$	$={\frac {\alpha q-\gamma n}{h}},$
$n'$	$={\frac {\beta q-\delta n}{h}},$
$p'$	$={\frac {\gamma m-\alpha p}{h}},$
$q'$	$={\frac {\delta m-\beta p}{h}}$.

Les équations (2) donnent

$m'$	$={\frac {\alpha 'q'-\gamma 'n'+k(\gamma 'm-\alpha 'p)}{h}},$
$n'$	$={\frac {\beta 'q-\delta 'n+k(\delta 'm-\beta 'p)}{h}},$
$p'$	$={\frac {\alpha 'p-\gamma 'n}{h}},$
$q'$	$={\frac {\beta 'p-\delta 'm}{h}}.$

De ces doubles valeurs de $m'$, $n'$, $p'$, $q'$, on tire les équations

$(\gamma +\gamma ')m$	$=(\alpha +\alpha ')p$,
$(\delta +\delta ')m$	$=(\beta +\beta ')p$…………(3)
——
$(\alpha -\alpha ')q-(\gamma -\gamma ')n$	$=k(\gamma 'm-\alpha 'p),$
$(\beta -\beta ')q-(\delta -\delta ')n$	$=k(\delta 'm-\beta 'p)$……(4)

Les équations (3) donnent ${\frac {m}{p}}={\frac {\alpha +\alpha '}{\gamma +\gamma '}}$ ; ${\frac {m}{p}}={\frac {\beta +\beta '}{\delta +\delta '}}$. Or il est aisé de voir que l’équation de condition qui résulte de ces deux valeurs est toujours satisfaite, car elle revient à

$(\alpha +\alpha ')(\delta +\delta ')-(\beta +\beta ')(\gamma +\gamma ')=0,$_ou_$e+e'+a+d=0,$

en essayant d’éliminer $q$ ou $n$ entre les équations (4) ; on voit facilement qu’elles rentrent l’une dans l’autre ; car il en résulterait dans l’un ou l’autre cas des équations qui s’anéantissent d’elles-mêmes, leur premier membre étant multiplié par $(\alpha -\alpha ')(\delta -\delta ')-(\beta -\beta ')(\gamma -\gamma ')$ qui est égal à $e+e'-a-d$, quantité nulle, et leur second membre étant multiplié, pour l’une, par $cm+(d+e)p$, pour l’autre, par $(a+e)m+bp$, quantités également nulles, comme on peut s’en assurer facilement. Il suffirait pour cela de multiplier par $\delta$ la première des équations (3), et d’en retrancher la seconde multipliée par $\gamma$ ; de multiplier encore la première par $\beta$, et d’en retrancher la seconde multipliée par $\alpha$. On trouverait

$cm+(d+e)p=0,$——$(a+e)m+bp=0$……(5)

Il suit de là qu’entre les cinq inconnues $m$, $n$, $p$, $q$, $k$, il n’y a réellement que deux équations. Ainsi le problème est indéterminé ; mais il faut que les valeurs de ces inconnues soient telles que $m'$, $n'$, $p'$, $q'$ soient entiers.

Disposons des nombres $m$ et $p$ dont le rapport seul est connu et égal à ${\frac {\alpha +\alpha '}{\gamma +\gamma '}}$