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NOTES DU TRADUCTEUR.
La forme
se change en elle-même par la transformation impropre
,
; ainsi : 1o.
se change en
par la transformation propre
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) |
![{\displaystyle =(mm'+np')x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d458e3b77f36f21162363338f1098aae1b9171f) |
|
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d) |
![{\displaystyle =(pm'+qp')x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2642b562d2ee07b5bccb3174a729c9b35fc3ec2c) |
|
et partant, on aura
![{\displaystyle mm'+np'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a50da7938a28b475781b849ab4b3a56a29f760c) |
![{\displaystyle =\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375b74ef1b7e78f8cc176b52365b5040cc69e65d) |
—— |
![{\displaystyle mn'+nq'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d95c555a7bca701668f78c110fad104a7c46240) |
![{\displaystyle =\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4159c7aa4c1812fa7b10402f642bc7e9b47c108) |
|
![{\displaystyle pm'+qp'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a179416adb4cd4cb94ea0e5db1c7dad87431c0) |
![{\displaystyle =\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/586019123b8815ed7090aee6a1025270f04ec670) |
|
![{\displaystyle pn'+qq'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f780a3a3b9a90394ce78029e003ceb4a9a45693c) |
……(1)
|
2o.
se change en
par la transformation impropre
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) |
![{\displaystyle =\left\{mm'+(mk-n)p'\right\}x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b5049bcf488011452b7fcf6b6d92faed2c4fea3) |
|
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d) |
![{\displaystyle =\left\{pm'+(pk-q)p'\right\}x'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27514132e04cdca8a2517f10a07acfeb6064a543) |
|
et l’on a parconséquent
![{\displaystyle mm'+(mk-n)p'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/130c417695e2bfa2b0b09d321788cd9ddfa46215) |
![{\displaystyle =\alpha ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94af6de3f4a7121a6bec83f12ac021054b4d550) |
—— |
![{\displaystyle mn'+(mk-n)q'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb6ebe31dacf718da165127c938de846e1647d83) |
|
![{\displaystyle pm'+(pk-q)p'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a00ec141b250caf0b458c2c08e47f1089d56666e) |
![{\displaystyle =\gamma ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00434e851977b3bd52363554e10a827ec02a6183) |
|
![{\displaystyle pn'+(pk-q)q'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2af37cf443f22da0e46655f178ceee1ff0bff735) |
……(2)
|
Les équations (1) donnent par l’élimination, en faisant
,
![{\displaystyle m'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ea8347f7588b19652c2098395f059d76b12b60) |
|
![{\displaystyle n'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d215ec5b3d3b48ac8ec46e7131e7b3c091c9114e) |
|
![{\displaystyle p'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e623e3163571a220ed60ecb31aa78c24104b85) |
|
![{\displaystyle q'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912405e5d416048908ea7978929975843d2ee4e6) |
.
|
Les équations (2) donnent
![{\displaystyle m'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ea8347f7588b19652c2098395f059d76b12b60) |
|
![{\displaystyle n'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d215ec5b3d3b48ac8ec46e7131e7b3c091c9114e) |
|
![{\displaystyle p'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e623e3163571a220ed60ecb31aa78c24104b85) |
|
![{\displaystyle q'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912405e5d416048908ea7978929975843d2ee4e6) |
|
De ces doubles valeurs de
,
,
,
, on tire les équations
![{\displaystyle (\gamma +\gamma ')m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4203d68a91d26d8b549f9b050240c2228630ef) |
,
|
![{\displaystyle (\delta +\delta ')m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7151354076ab7e6ea771acf172e6b8ddd30fcedb) |
…………(3)
|
—— |
|
![{\displaystyle (\alpha -\alpha ')q-(\gamma -\gamma ')n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50e319dfe91f5d92c29fc2a7768140dc3a9d686b) |
|
![{\displaystyle (\beta -\beta ')q-(\delta -\delta ')n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46ff07a4b9f92028ddb489376fb7120142f62a1a) |
……(4)
|
Les équations (3) donnent
;
. Or il est aisé de voir
que l’équation de condition qui résulte de ces deux valeurs est toujours satisfaite,
car elle revient à
_ou
_![{\displaystyle e+e'+a+d=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8e0af9012d3d3b3b2cd5c19404b54f7b29ed90d)
en essayant d’éliminer
ou
entre les équations (4) ; on voit facilement qu’elles
rentrent l’une dans l’autre ; car il en résulterait dans l’un ou l’autre cas des équations qui s’anéantissent d’elles-mêmes, leur premier membre étant multiplié par
qui est égal à
, quantité
nulle, et leur second membre étant multiplié, pour l’une, par
,
pour l’autre, par
, quantités également nulles, comme on peut s’en
assurer facilement. Il suffirait pour cela de multiplier par
la première des équations (3), et d’en retrancher la seconde multipliée par
; de multiplier encore la
première par
, et d’en retrancher la seconde multipliée par
. On trouverait
——![{\displaystyle (a+e)m+bp=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef185595a1d0119855d9e6e4ec337029d880eadd)
……(5)
Il suit de là qu’entre les cinq inconnues
,
,
,
,
, il n’y a réellement que
deux équations. Ainsi le problème est indéterminé ; mais il faut que les valeurs de
ces inconnues soient telles que
,
,
,
soient entiers.
Disposons des nombres
et
dont le rapport seul est connu et égal à