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ARITHMÉTIQUES.

il faut encore résoudre $\alpha -1$ équations du degré $a,$ que l’on ne peut non plus ni éviter, ni abaisser. Ainsi le degré des équations nécessaires se connaîtra généralement par les facteurs premiers du nombre $(a-1)a^{\alpha -1}$ (y compris le cas où $\alpha =1).$

Enfin si l’on doit diviser le cercle en $N=a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\dots$ parties, $a,\,b,\,c,\,{\text{etc.}}$ étant des nombres premiers, il suffit de savoir effectuer les divisions en $a^{\alpha },\,b^{\beta },\,c^{\gamma },\,{\text{etc.}}$ parties (n^o 336). Ainsi, pour connaître le degré des équations nécessaires, on doit considérer les facteurs premiers des nombres

$(a-1)a^{\alpha -1},\quad (b-1)b^{\beta -1},\quad (c-1)c^{\gamma -1},\quad {\text{etc.}},$

ou, ce qui revient au même, les facteurs de leur produit. On remarquera que ce produit indique combien il y a de nombres moindres que $N$ et premiers avec lui (nn^o 38). Ainsi la division ne pourra s’exécuter géométriquement que lorsque ce nombre est une puissance de $2\,;$ mais quand il renferme d’autres facteurs premiers $p,$ $p',\,{\text{etc.}},$ on ne peut éviter en aucune manière les équations de degré $p$, $p',\,{\text{etc.}}$

Il suit de là généralement que pour que la division géométrique du cercle en $N$ parties soit possible, $N$ doit être $2$ ou une puissance de $2,$ ou bien un nombre premier de la forme $2^{m}+1,$ ou encore le produit d’une puissance de $2$ par un ou plusieurs nombres premiers différens de cette forme ; ou d’une manière plus abrégée, il est nécessaire que $N$ ne renferme aucun diviseur impair qui ne soit de la forme $2^{m}+1$ ni plusieurs fois un même diviseur premier de cette forme.

On trouve de cette manière, au-dessous de $300$, les trente-huit valeurs suivantes pour le nombre $N\,:$

$2,\;3,\;4,\;5,\;6,\;8,\;10,\;12,\;15,\;16,\;17,\;20,\;24,\;30,\;32,\;34,\;40,\;48,\;51,$
$60,\;64,\;68,\;80,\;85,\;96,\;102,\;120,\;128,\;136,\;160,\;170,\;192,\;204,\;240,$
$255,\;256,\;257,\;272.$

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