Au reste ou prouve facilement que si un nombre premier est , le nombre lui-même ne peut avoir d’autres diviseurs que , et qu’il est parconséquent de la forme . En effet si était divisible par un nombre impair plus grand que l’unité, et qu’on eût ainsi , serait divisible par , et partant composé. Toutes les valeurs de qui ne conduisent qu’à des équations du second degré, sont donc contenues sous la forme ; ainsi les cinq nombres , , , , s’en déduisent en faisant , , , , ou , , , , . Mais la réciproque n’est pas vraie, et la division du cercle n’a lieu géométriquement que pour les nombres premiers compris dans cette formule. À la vérité Fermat, trompé par l’induction, avait affirmé que tous les nombres compris sous cette forme étaient nécessairement premiers ; mais Euler a remarqué le premier que cette règle était en défaut dès la supposition ou qui donne
nombre divisible par .
Toutes les fois que renferme des facteurs différens de on est toujours conduit à des équations plus élevées, par exemple à une ou plusieurs équations du troisième degré, si est une ou plusieurs fois facteur ; à des équations du cinquième degré, quand est divisible par et nous pouvons démontrer en toute rigueur que ces équations ne sauraient en aucune manière être évitées ni abaissées, et quoique les limites de cet Ouvrage ne nous permettent pas de développer ici la démonstration de cette vérité, nous avons cru devoir en avertir, pour éviter que quelqu’un ne voulût essayer de réduire à des constructions géométriques d’autres divisions que celles données par notre théorie, et n’employât inutilement son temps à cette recherche.
366. Si l’on veut diviser le cercle en parties, étant un nombre premier et il est aisé de voir que la construction géométrique n’est possible qu’autant que En effet, si outre les équations nécessaires pour la division du cercle en parties,
