Or il est évident que cette congruence sera satisfaite si ou
ou etc., racines toutes différentes, et en nombre
mais de ce que est une racine, il suit que est
divisible par on aura donc
congruence qui sera satisfaite, en y substituant à la place de
une quelconque des valeurs : etc., qui sont
toutes et Parconséquent, dans ces differens cas,
deviendra (no 22) ; c’est-à-dire
que la congruence qui du
degré aurait racines ; ce qui ne s’accorde pas avec
notre théorème, quoique nous ayons supposé que toutes les
congruences d’un degré inférieur à y satisfissent ; ce qui est
absurde.
44. Nous avons supposé ici que le module ne divisait pas le coefficient du premier terme ; mais le théorème n’est pas restreint à ce seul cas. En effet, si le premier coefficient, et même quelques-uns des suivans étaient divisibles par on pourrait les négliger sans erreur, la congruence serait réduite à un degré inférieur, et le coefficient du premier terme ne serait plus divisible par à moins que tous les coefficiens ne le fussent, auquel cas la congruence deviendrait identique, et l’inconnue serait absolument indéterminée.
Lagrange est le premier qui ait proposé et démontré ce théorème (Mémoires de l’Académie de Berlin, ann. 1768, p. 192). Il se trouve aussi dans la Dissertation de Legendre, intitulée Recherches d’Analyse indéterminée (Histoire de l’Académie de Paris, 1785, p. 466). Euler dans les Nouveaux Commentaires Académiques. Pétersb. XVIII, p. 93, a démontré que la congruence ne pouvait pas avoir plus de racines. Quoique ce ne soit qu’un cas particulier, la méthode dont ce célèbre Géomètre s’est servi, peut s’appliquer facilement à toutes les congruences. Il s’était déjà occupé d’un cas plus particulier (Comment. Ac. Pétersb. V. p. 6 ) ; mais cette méthode ne peut s’employer géné-
