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ARITHMÉTIQUES.
si donc la fonction dont il s’agit est désignée par le signe 
placé devant l’angle, et que l’on fasse
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etc. |
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etc. |
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etc. |
 etc.,
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on aura nécessairement
Il nous reste à faire voir que tous les coefficiens, dans les
fonctions 
etc. peuvent être ramenés à la forme
car alors ils devront être regardés comme connus, dès que l’on connaîtra les valeurs de 
etc. Or nous le prouverons de la manière suivante.
Le no précédent fait voir que de la même manière que l’on a
![{\displaystyle \cos \omega ={\frac {1}{2}}[1]+{\frac {1}{2}}[1]^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0479b58f4e65e72ed5c4ff407ac586c06ac42f81)
,
——![{\displaystyle \sin \omega =-{\frac {i}{2}}[1]+{\frac {i}{2}}[1]^{n-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c4dcef86fe856f4db2d99a5563d599ccdd41123)
les autres fonctions trigonométriques de l’angle 
sont réductibles à la forme
![{\displaystyle A'+B'[1]+C'[1]^{2}+D'[1]^{3}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b98bf6cff6ef40a9947fe76bd5a51d3dc84e7f4)
etc.,
et l’on voit sans la moindre difficulté, que la même fonction
pour l’angle 
est alors
![{\displaystyle A'+B'[k\omega ]+C'[k\omega ]^{2}+D'[k\omega ]^{3}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3e4cffb4aad0ef372490f60d6dade73c3dc221e)
etc.,
étant un entier quelconque. Or comme les différens coefficiens de 
sont des fonctions invariables rationnelles et entières de 
etc., il est manifeste que si, à la place de ces
quantités, on substitue leurs valeurs, les différens coefficiens deviendront des fonctions invariables de ![{\displaystyle [1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f75c7327bcdedf0545982f06337ac6713e1555d)
![{\displaystyle [a],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c16e3f39e424d6841ded4f27ebe110875a026c21)
![{\displaystyle [b],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da12a328e1aa532975642719cd462bfe0103d277)
etc., et partant (no 347) réductibles à la forme
etc.,
il en est de même des coefficiens 
, etc.
364. Nous ajouterons encore quelques observations à l’égard
du problème du no précédent.
1o. Comme les racines de la période 
entrent dans les coefficiens de de la même manière que les racines de la période 
entrent dans les coefficiens de il suit du no 347 que peut se déduire de pourvu que l’on substi-
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