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RECHERCHES

$pR^{\beta -1}+p'R^{\beta -2}+p''R^{\beta -3}+$ etc.,

$p$, $p'$, $p''$, etc., étant des nombres entiers donnés.

2^o. Si l’on prend pour $R$ une racine déterminée de l’équation $x^{\beta }-1$ (dont nous supposons avoir déjà la solution), et telle que sa puissance $\beta$ soit la plus petite qui soit égale à l’unité, $T$ sera aussi une quantité déterminée dont on pourra tirer $t$ par l’équation à deux termes $t^{\beta }-T=0$. Comme cette équation a $\beta$ racines.

$t,\,Rt,\,R^{2}t.......\,Rt^{\beta -1},$

le choix de la racine que l’on doit employer reste douteux ; mais on peut prouver comme il suit que cela est indifférent. On doit se souvenir que, toutes les valeurs des périodes de $\beta \gamma$ termes étant supposées connues, la racine $[1]$ n’est déterminée que par la condition d’être une des $\beta \gamma$ racines contenues dans $(\beta \gamma ,1)$, et que parconséquent nous sommes parfaitement maîtres de représenter par $a$ la valeur d’une quelconque des périodes qui composent $(\beta \gamma ,1)$ ; et si la valeur d’une de ces périodes étant représentée par $a$, on a $t=\tau$, et qu’ensuite on représente par $a$ la valeur de la période que l’on représentait par $b$, $c$, $d$,……$a$, $b$, deviendra $b$, $c$… $m$, $a$, ce qui donnerait alors $t={\frac {\tau }{R}}=\tau R^{\beta -1}$. De même, si l’on veut représenter par $a$ la valeur de la période qui était auparavant représentée par $c$, la valeur de $t$ deviendra $\tau R^{\beta -2}$, et ainsi de suite ; $t$ pourra donc être supposé égal à une quelconque des quantités $\tau$, $\tau R^{\beta -1}$, $\tau R^{\beta -2}$, etc., c’est-à-dire à celle qu’on voudra des racines de l’équation $x^{\beta }-T=0$, pourvu que nous supposions que l’on prenne pour $(\gamma ,1)$, tantôt l’une, tantôt l’autre des périodes contenues dans $(\beta \gamma ,1)$.

3^o. Lorsque la quantité $t$ a été déterminée de cette manière, il faut chercher les $\beta -1$ autres qui se déduisent de $t,$ en substituant successivement $R^{2},$ $R^{3},$ $R^{4},\dots$$R^{\beta }$ à la place de $R,$ c’est-à-dire,