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RECHERCHES
ou
[1]. Cela posé, comme on a
![{\displaystyle k=2a-b-c=3a-m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/930c70f44325623a756c0203fc2a4116b1fd434e)
on en tire
![{\displaystyle a={\frac {k+m}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567581b6edf4bcfc926196290f50f88546308e9a)
,
——![{\displaystyle b+c=m-a={\frac {1}{3}}(2m-k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef1be42f24adfa9bebbd176cb09599e73abb241)
d’où
![{\displaystyle C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029) |
![{\displaystyle =a^{2}-bc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f9ce253299c519f22c706a4518302462b5b474) |
![{\displaystyle =a^{2}-{\frac {1}{4}}(b+c)^{2}+{\frac {1}{4}}(b-c)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659b26ab90c7dc69e28648fa7fe2bfbd3c227bd1) |
|
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![{\displaystyle ={\frac {1}{9}}(m+k)^{2}-{\frac {1}{36}}(2m-k)^{2}+{\frac {1}{4}}N^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8ec4be9f926f10fe8a5d7b045bc6134100025e) |
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|
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; |
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et ainsi tous les coefficiens de l’équation cherchée se trouvent déterminés.
Cette formule devient encore plus simple, en substituant pour
sa valeur tirée de l’équation
![{\displaystyle (3k-2)^{2}+27N^{2}=4n=12m+4\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8661588c23587d9f6d82ee9d2e55f2297f572a)
ce qui donne
![{\displaystyle C={\frac {1}{9}}(m+k+3km)={\frac {1}{9}}(m+kn).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec680e82bb99ef6ff19f82a2476380865729a55)
Cette valeur peut encore se représenter sous la forme
![{\displaystyle C=(3k-2)N^{2}+k^{3}-2k^{2}+k-km+m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/118f8702381e798f31dc1a71714096ece75fe1fd)
qui est d’une application moins facile, mais qui fait voir par elle-même que C est un nombre entier, comme il le faut.
Exemple. Pour
on a
, d’où
,
,
, et l’équation cherchée est
![{\displaystyle x^{3}+x^{2}-6x-7=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bdf42b68b9b4c8100c4afa6fe50a92fc97daca7)
comme ci-dessus (no 351).
De même, pour
,
,
,
,
,
, on trouve respectivement
,
,
,
,
,
,
et
![{\displaystyle C=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/605a443c472808db9a502a801b8a2dfa5ee15d08)
,
![{\displaystyle -1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac)
,
![{\displaystyle 8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aaa997e6ad67716cfaa9a02c4df860bf60a95b5)
,
![{\displaystyle -11}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be67ebcac4c17ac03b54c835303473cb058f4d4e)
,
![{\displaystyle -8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b24cf97579cf40493908c64dc45971c781c97e78)
,
![{\displaystyle 9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d3d1e1f9dfe0254c628379e69a69711fe4eabd)
,
![{\displaystyle -5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa50dcaacd32d77fb512af521f6066839464c82)
.
Au reste, quoique le problème que nous venons de résoudre soit
assez
- ↑
ne peut être de la forme
, car alors
serait divisible par
. Quant à l’ambiguïté de signe qui porte sur
, il est inutile de s’y arrêter, et même
cette détermination est impossible par la nature même de la chose, puisqu’elle dépend du choix de la racine
, de manière que pour quelques racines primitives
est positif, tandis que pour d’autres il est négatif.