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ARITHMÉTIQUES

$x^{m}+$	$ax^{m-1}+$	$bx^{m-2}$	$+\dots \ +n$	$\dots \ (P)$,
$x^{m'}+$	$ax^{m'-1}+$	$b'x^{m'-2}$	$+\dots \ +n'$	$\dots \ (Q)$

sont tous rationnels, mais non pas tous entiers, et que le produit soit $\mathrm {x^{m+m'}+Ax^{m+m'-1}+\dots \ +N,}$ les coefficiens $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {C} ,$ etc., $\mathrm {N}$ ne peuvent être tous entiers.

En effet, réduisons à leur plus simple expression toutes les fractions qui peuvent se trouver parmi les nombres $a,$ $b,$ $c,$ etc. ; $a',$ $b',$ $c',$ etc. ; et choisissons un nombre premier $p$ qui divise un ou plusieurs des dénominateurs de ces fractions. Supposons que $p$ divise le dénominateur d’un coefficient fractionnaire de $(P),$ il est clair qu’en divisant $(Q)$ par $p,$ on aura aussi dans ${\frac {(Q)}{p}}$ au moins un coefficient fractionnaire dont le dénominateur sera divisible par $p$ (le coefficient du premier terme ${\frac {1}{p}},$ par exemple). Or on voit facilement qu’on pourra toujours trouver un terme fractionnaire de $(P)$ dont le dénominateur contienne $p$ élevé à une puissance plus grande que dans tous les termes qui précèdent, et non moindre que dans tous ceux qui suivent. Soit ce terme $Gx^{g}$ et $t$ l’exposant de $p$ dans le dénominateur. On trouvera un terme pareil dans ${\frac {(Q)}{p}},$ que nous supposerons être $\Gamma x^{\gamma },$ l’exposant de $p$ dans le dénominateur, étant $\tau \,;$ on aura au moins $t+\tau =2.$ Cela posé, le terme $x^{g+\gamma }$ du produit de $(P)$ par $(Q)$ aura un coefficient fractionnaire dont le dénominateur renfermera $p$ élevé à la puissance $t+\tau -1.$

En effet, soient $'Gx^{g+1},$ $''Gx^{g+2},$ etc., les termes qui précèdent $Gx^{g}$ dans $(P)\,;$ $G'x^{g-1},$ $G''x^{g-2},$ etc. ceux qui le suivent. Soient de même dans ${\frac {(Q)}{p}},$ $'\Gamma x^{\gamma +1},$ $''\Gamma x^{\gamma +2},$ etc., les termes qui précèdent $\Gamma x^{\gamma }\,;$ et $\Gamma 'x^{\gamma -1},$ $\Gamma ''x^{\gamma -2},$ etc. ceux qui le suivent. Dans le produit de $(P)$ par ${\frac {(Q)}{p}}$ le coefficient de $x^{g+\gamma }$ sera évidemment

$G\Gamma$	$+'G\Gamma '+$	$''G\Gamma ''$	$+\ {\text{etc}}.$
	$+'\Gamma G'+$	$''\Gamma G''$	$+\ {\text{etc}}.$

Le premier terme $G\Gamma$ sera une fraction qui, réduite à sa plus