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RECHERCHES

période $(m,1)$ ; on aura $a=(m,1)$, et chacun des autres coefficiens pourra être ramené à la forme

$A+B(m,1)+C(m,g),$

où $A$, $B$, $C$ sont des entiers (n^o 348). Désignons par $z'$ ce que devient $z$, quand on y remplace $(m,1)$ par $(m,g)$, et $(m,g)$ par $(m,g^{2})=(m,1)$ ; l’équation $z'=0$ donnera les racines contenues dans $(m,g)$, et l’on aura

$zz'={\frac {x^{n}-1}{x-1}}=X.$

On peut donc mettre $z$ sous la forme

$z=R+S(m,1)+T(m,g),$

où $R$, $S$, $T$ seront des fonctions entières de $x$, dont les coefficiens seront entiers. Cela fait, on aura

$z'=R+S(m,g)+T(m,1).$

Faisons, pour abréger, $(m,1)=p$, $(m,g)=q$ ; on tire de ces équations

$2z$	$=$	$2R+(S+T)(p+q)-(T-S)(p-q)$
	$=$	$2R-S-T-(T-S)(p-q)$,
$2z'$	$=$	$2R-S-T+(T-S)(p-q)$ ;

donc posant $2R-S-T=Y$, $T-S=Z$, on a

$4X=Y^{2}-(p-q)^{2}Z^{2}=Y^{2}\mp nZ^{2},$

puisque $(p-q)^{2}=\pm n$ (n^o précéd.), le signe supérieur ayant lieu quand $n$ est de la forme $4k+1,$ et le signe inférieur quand $n$ est de la forme $4k+3$. C’est le théorème dont nous avons promis la démonstration au n^o 124.

On voit facilement que les deux premiers termes de $Y$ sont $2x^{m}+x^{m-1},$ et que le premier terme de $Z$ est $x^{m-1},$ quant aux autres coefficiens, qui sont évidemment entiers, ils varient suivant la nature du nombre $n$, et ne peuvent être soumis à une formule analytique générale.

Exemple. Pour $n=17,$ l’équation qui donne les huit racines contenues dans $(8,1),$ se trouve être (n^o 348),

$x^{8}-px^{7}+(4+p+2q)x^{6}-(4p+3q)x^{5}+(6+3p+5q)x^{4}$

$-(4p+3q)x^{3}+(4+p+2q)x^{2}-px+1=0,$