465
ARITHMÉTIQUES.
, et dans le second
,
; et comme
et
doivent être entiers, le premier cas aura lieu, c’est-à-dire que
ou
se trouvera parmi les non-résidus de
lorsque
sera impair, c’est-à-dire lorsque
sera de la forme
; le second aura lieu au contraire quand
sera pair, c’est-à-dire quand
sera de la forme
. Ainsi, comme on a
, et
, le produit cherché sera donc, suivant les mêmes circonstances,
, ou
, et l’équation sera, dans le premier cas,
![{\displaystyle x^{2}+x+{\frac {1}{4}}(n+1)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f68455dc5ae81e370819c6476a3d29bea4baba44)
,
——qui donne
——![{\displaystyle x=-{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}i{\sqrt {n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89870fc177b0bb97d636ca087cab33a8fb297297)
,
et dans le second
![{\displaystyle x^{2}+x-{\frac {1}{4}}(n-1)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2394b268e593d5802fcdbf1374e272ddd31cfb0)
,
——qui donne
——![{\displaystyle x=-{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bedbe3043d80f2a7d66e94a49a3ba3ac6fd6cd3)
Ainsi, quelle que soit la racine que l’on ait prise pour
, si l’on désigne par
la somme de toutes les racines
,
,
, etc., et par
celle des racines
,
, etc., on aura
![{\displaystyle \sum [R]-\sum [N]=\pm {\sqrt {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e7e03748353bbf20ed920ef646dddfe6831be2)
,
——ou
——![{\displaystyle \pm i{\sqrt {n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a699ee339dbe74f8524e6a71f5706f91deb9d08)
suivant que
ou
. Il suit facilement de là que
étant un nombre entier quelconque non-divisible par
, on a
![{\displaystyle \sum \cos {\frac {kRp}{n}}-\sum \cos {\frac {kNp}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09dadadb9b728dcc896e378f934b3106c65dde6a) |
, |
——ou—— |
, |
|
![{\displaystyle \sum \sin {\frac {kRp}{n}}-\sum \sin {\frac {kNp}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c8e4107abf88061945d370be0753865bbf8488) |
, |
——ou—— |
, |
|
suivant que
ou
, théorèmes remarquables par leur élégance.
Au reste, nous ferons observer que le signe supérieur a lieu
quand
est l’unité, ou plus généralement quand
est résidu quadratique de
, et le signe inférieur, quand
est non-résidu. Ces
théorèmes conservent toute leur élégance, ou plutôt en acquièrent
encore davantage, lorsque
est un nombre composé quelconque ; mais nous sommes forcés de supprimer ces recherches qui demanderaient trop de développement, et de les réserver pour une autre occasion.
357. Soit
etc. |
![{\displaystyle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc9e66de468806365c20e32e83456cc526ce29e) |
——ou—— |
, |
|
l’équation de degré
qui donne les racines contenues dans la
N n n