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ARITHMÉTIQUES.

$\beta =\gamma ={\frac {m-1}{2}}$, et dans le second $\alpha =0$, $\beta =\gamma ={\frac {m}{2}}$ ; et comme $\beta$ et $\gamma$ doivent être entiers, le premier cas aura lieu, c’est-à-dire que $n-1$ ou $-1$ se trouvera parmi les non-résidus de $n$ lorsque $m$ sera impair, c’est-à-dire lorsque $n$ sera de la forme $4n+3$ ; le second aura lieu au contraire quand $m$ sera pair, c’est-à-dire quand $n$ sera de la forme $4n+1$. Ainsi, comme on a $(m,0)=m$, et $(m,1)+(m,g)=-1$, le produit cherché sera donc, suivant les mêmes circonstances, ${\frac {1}{2}}(m+1)$, ou ${\frac {-1}{2}}m$, et l’équation sera, dans le premier cas,

$x^{2}+x+{\frac {1}{4}}(n+1)=0$,——qui donne——$x=-{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}i{\sqrt {n}},$,

et dans le second

$x^{2}+x-{\frac {1}{4}}(n-1)=0$,——qui donne——$x=-{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {n}}.$

Ainsi, quelle que soit la racine que l’on ait prise pour $[1]$, si l’on désigne par $\sum [R]$ la somme de toutes les racines $[1]$ , $[R]$, $[R']$, etc., et par $\sum [N]$ celle des racines $[N]$, $[N']$, etc., on aura

$\sum [R]-\sum [N]=\pm {\sqrt {n}}$,——ou——$\pm i{\sqrt {n}},$

suivant que $n\equiv 1$ ou $\equiv 3{\pmod {4}}$. Il suit facilement de là que $k$ étant un nombre entier quelconque non-divisible par $n$, on a

$\sum \cos {\frac {kRp}{n}}-\sum \cos {\frac {kNp}{n}}$	$=\pm {\sqrt {n}}$,	——ou——	$=0$,
$\sum \sin {\frac {kRp}{n}}-\sum \sin {\frac {kNp}{n}}$	$=0$,	——ou——	$\pm {\sqrt {n}}$,

suivant que $n\equiv 1$ ou $\equiv 3{\pmod {4}}$, théorèmes remarquables par leur élégance.

Au reste, nous ferons observer que le signe supérieur a lieu quand $k$ est l’unité, ou plus généralement quand $k$ est résidu quadratique de $n$, et le signe inférieur, quand $k$ est non-résidu. Ces théorèmes conservent toute leur élégance, ou plutôt en acquièrent encore davantage, lorsque $n$ est un nombre composé quelconque ; mais nous sommes forcés de supprimer ces recherches qui demanderaient trop de développement, et de les réserver pour une autre occasion.

357. Soit

$x^{m}-ax^{m-1}+bx^{m-2}-$ etc.

$=0$

——ou——

$z=0$,

l’équation de degré $m$ qui donne les racines contenues dans la

N n n