Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/482

460

RECHERCHES

doit être la racine dans laquelle le radical est positif, et $(4,10)$ l’autre racine^[1]. Au reste, il en résulte les mêmes valeurs que plus haut.

Connaissant toutes les sommes de quatre termes, nous passons maintenant à la recherche des sommes de deux termes. L’équation $(C)$, dont les racines sont $(2,1)$, $(2,13)$, périodes contenues dans $(4,1)$, est

$x^{2}-(4,1)x+(4,3)=0,$

qui donne

$x$	$={\frac {1}{2}}(4,1)\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\{-4(4,3)+(4,1)^{2}\}}}$
	$={\frac {1}{2}}(4,1)\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\{4+(4,9)+2(4,3)\}}}$ ;

nous prendrons pour valeur de $(2,1)$ celle de ces deux racines dans laquelle le radical est positif, et il en résulte

$(2,1)=1,8649444588$,——$(2,13)=0,1845367189\,;$

si l’on veut chercher les autres sommes de deux termes par la méthode du n^o 346, on pourra employer pour

$(2,2)$, $(2,3)$, $(2,4)$, $(2,5)$, $(2,6)$, $(2,7)$, $(2,8),$

les formules que nous avons données pour les quantités désignées de la même manière dans l’exemple précédent, savoir :

$(2,2)\,($ ou $(2,15))=(2,1)^{2}-2$, etc. ;

mais, si l’on préfère les déterminer deux à deux par des équations du second degré, on trouve pour $(2,9)$ et $(2,15)$ l’équation

$x^{2}-(4,9)x+(4,10)=0,$

qui donne

${\frac {1}{2}}(4,9)\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\{4+(4,13)-2(4,3)\}}},$

et l’on déterminera le signe comme plus haut, savoir : le développement du produit de $(2,1)-(2,13)$ par $(2,9)-(2,15)$ donne

$-(4,1)+(4,9)-(4,3)+(4,10),$

1. Le fond de cet artifice consiste dans une propriété facile à prévoir, d’après laquelle le développement de ce produit ne contient plus de périodes de quatre termes, mais se trouve exprimé par des périodes de huit termes ; les gens instruits en découvriront facilement la raison que l’envie d’abréger nous force d’omettre.