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RECHERCHES

$(6,2)=$	$4-(6,1)^{2}$	$=$	$2,5070186441$,
$(6,4)=-$	$5-(6,1)+(6,1)^{2}$	$=-$	$2,2851424818$.

Donc, si l’on substitue ces valeurs dans les formules du n^o 348, X sera décomposé en facteurs du sixième degré.

L’équation $(B)$, qui a pour racines les sommes $(2,1)$, $(2,7)$, $(2,8)$ est (n^o 351, ex. 2),

$x^{3}-(6,1)x^{2}+\{(6,1)+(6,4)\}x-2-(6,2)=0.$

ou

$x^{3}+\ 1,2218761623\ x^{2}\ -\ 3,5070186441\ x-4,5070186441\ =\ 0.$

On trouve pour une de ses racines $x=1,3545631433$ ; nous l’exprimerons par $(2,1)$, et si l’on fait pour abréger $(2,1)=q$ on aura (n^o 346)

$(2,2)$	$=q^{2}-2,$
$(2,3)$	$=q^{3}-3q,$
$(2,4)$	$=q^{4}-4q^{2}+2,$
$(2,5)$	$=q^{5}-5q^{3}+5q,$
$(2,6)$	$=q^{6}-6q^{4}+9q^{2}\ \;-\;\;2,$
$(2,7)$	$=q^{7}-7q^{5}+14q^{3}-\ \;7q,$
$(2,8)$	$=q^{8}-8q^{6}+20q^{4}-16q^{2}+2,$
$(2,9)$	$=q^{9}-9q^{7}+27q^{5}-30q^{3}+9q.$

On peut, dans le cas actuel, trouver ces valeurs plus commodément, de la manière suivante :

Supposons $[1]=\cos {\frac {kP}{19}}+i\,\sin {\frac {kP}{19}}\,;$

on aura

$[18]=\cos {\frac {18kP}{19}}+i\,\sin {\frac {18kP}{19}}=\cos {\frac {kP}{19}}-i\,\cos {\frac {kP}{19}}\,;$

et partant

$(2,1)=2\cos {\frac {kP}{19}}\,:$

on a de même en général,

$[1]=\cos {\frac {\lambda kP}{19}}+i\,\sin {\frac {\lambda kP}{19}},$

et partant

$(2,\lambda )=[\lambda ]+[18\lambda ]=[\lambda ]+[-\lambda ]=2\cos {\frac {\lambda kP}{19}}.$

Si donc ${\frac {1}{2}}q=\cos \omega$, il en résulte

$(2,2)=2\cos 2\omega$, —— $(2,3)=2\cos 3\omega$, ——etc. ;

d’où, par les équations connues qui donnent les cosinus des arcs multiples, on tirera les mêmes formules que ci-dessus. Ces formules donneront les valeurs numériques suivantes :

(2, 2)